逆矩陣

本文轉載自查看原文 2020-06-21 15:23 1155 線性代數

1.定義：

設 $A$ 是數域上的一個 $n$ 階方陣，若在相同數域上存在另一個 $n$ 階矩陣 $B$ ，使得： $AB=BA=E$ 。則我們稱 $B$ 是 $A$ 的逆矩陣，而 $A$ 則被稱為可逆矩陣，記為 $A^{-1}$ 。

這里 $E$ 是單位矩陣： $\left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &\cdot\cdot\cdot & 0 \\ 0 &1 &\cdot\cdot\cdot & 0 \\ \cdot\cdot\cdot\\ 0 &0 &\cdot\cdot\cdot & 1 \\ \end{array} \right)$ ，也就是主對角線（就這一條啊，別的都不算）全是“ $1$ ”，別的地方全是“ $0$ ”，且單位矩陣一定是方陣。

解毒：現在都知道矩陣不過是一張數表了吧，那么現在暫且先告訴你，要求原矩陣的逆矩陣，那么原矩陣就必須是個方陣（即矩陣 $A_ {n\times n}$ 的是 $n$ 行 $n$ 列的)，且 $|A|≠0$ （唉，完了完了，行列式又忘記講了...）。所謂在相同數域上存在，也就是原矩陣和逆矩陣的都是相同的（復數域C、實數域R、有理數域Q...)。當 $AB=BA=E$ 時，之前說了矩陣乘法是沒有交換率，但這里可以理解為一個倒數乘以它本身就等於 $1$ （單位矩陣嘛，差不多差不多）。

下面講解法： $A^ {-1}=\frac{1}{|A|}A^{\ast}$ （1.1）

從式1.1中就可以看出，原矩陣就必須是個方陣，且 $|A|≠0$ ，因為在不知道廣義逆之前，只有方陣才能算行列式的值，且其作為分母不能為零。

$A^{\ast}$ 就是方陣 $A$ 的“伴隨矩陣”（真的......算了還是寫在這里吧）。

在行列式里講了余子式 $M_{ij}$ 和代數余子式 $A_{ij}$ ，那伴隨矩陣其實就是 $A^ {\ast}=\left( \begin{array}{ccc} A_{1,1} &A_{1,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{1,n} \\ A_{2,1} &A_{2,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{2,n} \\ \cdot\cdot\cdot\\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,n} \\ \end{array} \right)^{T}= \left( \begin{array}{ccc} A_{1,1} &A_{2,1} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,1} \\ A_{1,2} &A_{2,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,2} \\ \cdot\cdot\cdot\\ A_{1,n} &A_{2,n} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,n} \\ \end{array} \right)$

也就是方陣 $A$ 的“伴隨矩陣" 就是把方陣 $A$ 中的元素 $a_{ij}$ 替換成對應的代數余子式 $A_{ij}$ 然后轉置即可。

作者：網癮少年

鏈接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/32888611
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。

2、矩陣的偽逆和左右逆

偽逆矩陣：

偽逆矩陣是逆矩陣的廣義形式。由於奇異矩陣或非方陣的矩陣不存在逆矩陣，但在matlab里可以用函數pinv(A)求其偽逆矩陣。基本語法為X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol為誤差,pinv為pseudo-inverse的縮寫：max(size(A))*norm(A)*eps。函數返回一個與A的轉置矩陣A' 同型的矩陣X，並且滿足：AXA=A,XAX=X.此時，稱矩陣X為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。pinv(A)具有inv(A)的部分特性，但不與inv(A)完全等同。　如果A為非奇異方陣，pinv(A)=inv(A)，但卻會耗費大量的計算時間，相比較而言，inv(A)花費更少的時間。

https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5082508.html

免責聲明！

本站轉載的文章為個人學習借鑒使用，本站對版權不負任何法律責任。如果侵犯了您的隱私權益，請聯系本站郵箱yoyou2525@163.com刪除。

猜您在找 矩陣的逆關於矩陣的逆逆矩陣對角矩陣的逆矩陣如何求矩陣的逆矩陣矩陣求逆矩陣矩陣論 - 3 - 矩陣乘法和逆矩陣矩陣（一）：矩陣乘法和逆矩陣單位矩陣和逆矩陣 matlab矩陣求逆矩陣