我們對一個矩陣(向量組)或者向量做線性變換是否總能找到一個逆變換使結果向量再變回原向量或原矩陣？
先來直觀的理解一下：假如原來待變換矩陣 $A$ 位於的線性空間的維度為 $n$，但經過矩陣 $P$ 的作用后，結果矩陣 $B$ 的秩變小了，即可以用
小於 $n$ 維度的線性空間容納，那么此時能找到一個逆變換矩陣將 $B$ 再變回 $A$ 嗎？
答案是顯然不能，變換的本質是矩陣列向量或者行向量的線性組合，根據線性空間的封閉性，某一空間內的向量無論怎么組合，結果肯定還是處於本
空間內的，不會發生產生高維度空間向量的情況。
結論：只有當被作用矩陣 $A$ 或向量在變換后的秩 $=$ 原來的秩，才會存在逆變換矩陣。
下面來看一個例子：
$$PA = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{bmatrix} = B$$
$$QB = \begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix} = A$$
這種情況算不算是矩陣 $P$ 存在逆變換 $Q$ 呢？
我們討論一個矩陣的逆變換是具有普適性的，而不是針對某一個被作用矩陣，上面這個例子中，如果將 $A$ 換成滿秩的矩陣，那么 $P$ 便不會存在
逆變換，在 $A$ 滿秩的這種情況下，要使變換矩陣存在逆變換，則 $P$ 也必須滿秩，故存在逆變換的矩陣必須是滿秩矩陣。
存在逆變換的矩陣：
1）$A$ 首先必須方陣，這樣一來其逆變換矩陣也是方陣，兩個矩陣就可以交換位置相乘。
2）共同作用后變化效果能相互抵消，因為單位矩陣作用於任何向量都是它本身，所以 $AB = BA = E$。
滿足上述條件的逆變換矩陣稱為逆矩陣，記為
$$A^{-1} = B \; or \; B^{-1} = A$$
存在逆變換的矩陣其行列式不為 $0$：
行列式是線性變換的伸縮因子，變換矩陣的行列式大於 $0$，對於圖形有放大的作用，行列式等於 $1$，則圖形的大小不會變，
行列式小於 $1$，對於圖形有縮小的作用。行列式等於 $0$，有一個重要的結論是，矩陣不可逆。這點也很好理解，原來的線性
空間被壓縮，低維度的向量線性組合無法產生高維度的向量。
關於逆矩陣的一些性質：
1）$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，可以根據定義來證明：$ABB^{-1}A^{-1} = B^{-1}A^{-1}AB = E$。
2）$k \neq 0$ 時，$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$，易根據定義證明：$kA \cdot \frac{1}{k}A^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \cdot kA = E$。