矩陣求逆矩陣

因為坐標系轉換實現需要求系數矩陣，所以這里只介紹n*n維矩陣求逆矩陣的方法

 

單位矩陣E定義：

1 0 0 ... 0

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

0 0 0 ... 1

對角線上都是1，其他位置全是0

 

矩陣相乘：

n*n維矩陣A和B相乘（我們用A_ij表示A矩陣第i行第j列的值）

(A*B)_ij = A_i1*B_1j+A_i2*B_2j+A_i3*B_3j+...+A_in*B_nj

 

逆矩陣定義：

假設一個n*n維矩陣A，如果存在一個n*n維矩陣B，使得A*B=E，那么就說B是A的逆矩陣A^-1，同樣A也是B的逆矩陣B^-1

一個矩陣的逆矩陣不是一定存在的（可以通過判斷行列式的值（也就是矩陣的模）等不等於0來判斷逆矩陣存不存在，等於0就不存在逆矩陣）

 

矩陣行列式求值方法：

 

我們需要了解等一下矩陣的初等變換：

在線性代數中，矩陣的初等行變換是指以下三種變換類型 ：

(1) 交換矩陣的兩行（對調i,j，兩行記為ri，rj）；

(2) 以一個非零數k乘矩陣的某一行所有元素（第i行乘以k記為ri×k）；

(3) 把矩陣的某一行所有元素乘以一個數k后加到另一行對應的元素(第j行乘以k加到第i行記為ri+krj)。

類似地，把以上的“行”改為“列”便得到矩陣初等列變換的定義，把對應的記號“r”換為“c”。

矩陣的初等行變換與初等列變換合稱為矩陣的初等變換。

 

我們需要知道使用初等變換對矩陣的模的值的改變

第一類初等變換（換行換列）使行列式變號。

第二類初等變換（某行或某列乘k倍）使行列式變k倍。

第三類初等變換（某行（列）乘k倍加到另一行（列））使行列式不變。

 

上三角矩陣定義：

主對角線以下都是零的方陣稱為上三角矩陣。上三角矩陣具有行列式為對角線元素相乘、上三角矩陣乘以系數后也是上三角矩陣、上三角矩陣間的加減法和乘法運算的結果仍是上三角矩陣等性質。

示例：

1 5 6 2

0 4 8 5

0 0 3 1

0 0 0 5

為一個上三角矩陣。

 

計算行列式或者矩陣的時候，可以行變換和列變換混着用嗎？

1、計算行列式時，可以同時施加第一、第三類初等行/列變換，施加第二類變換時需要將行列式乘上相應的系數

2、求矩陣的秩時，也即求相抵標准形時，可以施加三種初等行變換，或施加三種初等列變換（不可混用）

3、和單位矩陣拼在一起求逆矩陣時，豎着拼就只能用列變換，橫着拼就只能用行變換

4、解方程只能行變換

 

A矩陣的伴隨矩陣A^*的求法：

假設A為n階矩陣，定義矩陣為A的伴隨矩陣，記作。

 

 ，M_ij是矩陣A去掉i行j列后，所得矩陣的行列式。

 

求矩陣逆矩陣的兩種方法：

一、根據定義

A^-1 = (1/|A|)*A^*

求出來A矩陣的模和伴隨矩陣就可以

 

二、構造分塊矩陣(A|E)

把分塊矩陣(A|E)的A使用初等變換化成E，那么右邊的E在跟着A一起初等變換之后的矩陣就是A^-1

原理（下圖來源於：https://wenku.baidu.com/view/62c266db094e767f5acfa1c7aa00b52acec79c0c.html）：

 

 

C++代碼實現：

代碼來源於：https://blog.csdn.net/XX_123_1_RJ/article/details/39268041?locationNum=5&fps=1

代碼思想：

采用第二種方法計算逆矩陣

獲取行列式的值：把矩陣化為上三角矩陣之后按照定義求矩陣的模（注意，因為代碼中fun函數，把矩陣變成上三角矩陣使用了初等行變換的1，3規則，又因為第一條規則會影響到行列式值的正負，所以需要記錄一下行交換了幾次）

#include<iostream> #include<iomanip>     
using namespace std; int const n=3;  //確定矩陣的節數 
  
/* 作者 星星筆記 */    
  
int main() { void temp(double aa[],double bb[],int n); double fun(double array[n][n]); double a[n][n],b[n][2*n],c[n][n],det1,yinzhi; double bb; int i,j,kk=0,k,u; for(i=0;i<n;i++)  //初始化一個輔助矩陣 
        for(j=0;j<2*n;j++) b[i][j]=0; //---------輸入原始矩陣--------------- 
    cout<<"請輸入一個"<<n<<"節方陣"<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) cin>>a[i][j]; //把矩陣a復制給矩陣b 
        for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) b[i][j]=a[i][j]; for(j=0;j<n;j++) b[j][n+j]=1; //------------------------------------ //------------測試查看----------  /* cout<<"a所對應的at矩陣b為："<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<2*n;j++) { cout<<setw(6)<<b[i][j]; kk=kk+1; if(kk%(2*n)==0) cout<<endl; } */
    //---------------------------------- // det1=fun(a);//獲取行列式的值 
 
   for(i=0;i<n;i++) { // b[i][i] 等於 0 的情況
       if(b[i][i]==0) for(j=i;j<n;j++) { if(b[j][i]!=0) temp(b[i],b[j],2*n);  //交換兩行 
 } // b[i][i] 不等於 0 的情況
       for(k=i+1;k<n;k++) { yinzhi = -1 * b[k][i] / b[i][i]; for(u=0; u < 2*n; u++) { b[k][u] = b[k][u] + b[i][u] * yinzhi; } } } det1 = fun(a);// 獲取行列式的值，把矩陣化為上三角矩陣之后按照定義求矩陣的模（注意，因為代碼中把矩陣變成上三角矩陣使用了初等行變換的1，3規則，又因為第一條規則會影響到行列式值的正負，所以需要記錄一下行交換了幾次） 
   if(det1 == 0) // 如果行列式的值為0 則是不可逆的。
 { cout<<"此矩陣不可逆："<<endl; return 0; } if(det1 != 0) { for(i=0; i<n; i++)    //左矩陣 的對角線 全部 轉化為 1
 { bb = b[i][i];   // bb 不會等於0 因為對角線有有一個為0 說明行列式的值為零，
             for(j=0; j<2*n; j++) b[i][j] = b[i][j] / bb; } for(i=n-1; i>0; i--) for(k=0; k<i; k++) { bb = b[k][i]; for(u=0; u<2*n; u++) b[k][u] = b[k][u] - bb*b[i][u]; } } //------------測試查看----------  /* cout<<"變化后的at矩陣"<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<2*n;j++) { cout<<setw(6)<<b[i][j]; kk=kk+1; if(kk%(2*n)==0) cout<<endl; } cout<<endl; */
   //------------------------------ 
  
   for(i=0; i<n; i++) for(j=0; j<n; j++) c[i][j] = b[i][j+n]; kk = 0; if(det1!=0) //輸出逆矩陣 
 { cout<<"其可逆且其行列式的值det為："<<det1<<endl<<endl; cout<<"可逆a矩陣的逆矩陣為c矩陣："<<endl; for(i=0; i<n; i++) for(j=0; j<n; j++) { cout<<setw(15)<<c[i][j]; kk = kk+1; if(kk%n == 0) cout<<endl; } } return 0; } void temp(double aa[],double bb[],int n) { //交換數組指定的兩行，即進行行變換（具體為行交換） 
    int i; double temp1; for(i=0; i<n; i++) { temp1 = aa[i]; aa[i] = bb[i]; bb[i] = temp1; } } double fun(double array[n][n]) { int ii,jj,k,u; int iter = 0; double det1=1,yin; for(ii=0; ii<n; ii++) { if(array[ii][ii] == 0) for(jj=ii;jj<n;jj++) { if(array[jj][ii] != 0) { temp(array[ii],array[jj],n);//交換兩行 
                    iter++; } } for(k=ii+1; k<n; k++) { yin = -1 * array[k][ii] / array[ii][ii]; for(u=0; u<n; u++) { array[k][u] = array[k][u] + array[ii][u] * yin; } } } for(ii=0;ii<n;ii++) det1 = det1 * array[ii][ii]; if(iter % 2 == 1) det1 = -det1; return (det1);      //返回行列式的值 
}