矩陣的轉置、求逆及分塊

本文轉載自查看原文 2012-03-15 15:45 5005 矩陣/ 數學理論

2.2 矩陣的轉置、求逆及分塊

2.2.1 轉置矩陣
    如果將矩陣的行和列在不改變各元素的排列次序的條件下進行對調，即行變為列，列變為行，作成一個新的矩陣，我們稱這個新的矩陣為原矩陣A的轉置矩陣，並用來表示，即：

    在方陣中，各元素的數值和正負號，如果都沿其主對角線對稱的話，則稱為對稱方陣，對稱方陣具有：＝的性質。
    如果矩陣A、B是可以相乘的，那么有：，即兩矩陣之積的轉置矩陣，等於這兩個矩陣交換順序后的轉置矩陣的積。

【例2-5】   用矩陣來表示[PVV]。
【解】已知：，用矩陣運算法表示，可寫為：

若記：                              （2-11）
    則：                                                 （2-12）
    上式即為用矩陣表示的[PVV]，式中為觀測值權陣，為改正數陣（列矩陣），為V的轉置矩陣（行矩陣）。

2.2.2 逆矩陣
    對於n階方陣A，如果有一個同階方陣B存在，使得：
                       AB＝BA＝E
則稱B為A的逆矩陣，A的逆矩陣通常用來表示，即：

方陣A存在逆矩陣的充分必要條件是它的行列式不等於零。
    如果A、B都是n階方陣，並且它們的行列式都不等於零，則有：
                                                          （2-13）
即兩個方陣之積的逆矩陣，等於這兩個方陣交換順序后的逆矩陣之積。

【例2-6】證明（2-13）式成立。
     【證明】以（AB）左乘（2-13）式，得：

    因上式等號左端兩矩陣的積等於E，即：；而等號右端也等於E,即：                     。
    可見：

【例2-7】求的逆陣。
    【解】首先算得，再根據行列式理論中計算代數余子式的方法，算出中各元素所對應的代數余子式，並寫出A的伴隨陣：

注：A*中的各元素為原陣A中的元素所對應的代數余子式。根據逆陣的計算公式

        ，
    我們可得所求的逆陣：

2.2.3 分塊矩陣
    對於高階矩陣的運算，可以用縱線與橫線將其分裂成若干塊低階矩陣，分裂后的矩陣稱為子塊，分為子塊的矩陣稱為分塊矩陣。
（1）分塊矩陣的加法
    若有兩個相同行數和列數的矩陣C、D，用同一方法分裂成行數和列數一致的分塊矩陣，則分塊矩陣C、D的相加，只要把它們的對應子塊矩陣一一相加便是了。
（2）數與分塊矩陣的乘法
    數與矩陣相乘的定義是：用數k右乘或左乘矩陣A，其積等於矩陣A的所有元素都乘以k。與此類似，數k與分塊矩陣D相乘，就等於各子塊矩陣均乘以k。
（3）分塊矩陣的乘法
    設兩可乘矩陣C、D已分裂成如下形式的分塊矩陣，即：

    其中子塊矩陣的列數等於的行數，則分塊矩陣C、D的乘積為：
                                       （2-14）
    其中：。