矩陣乘法以及矩陣的逆，轉置

矩陣的乘法

先舉一個簡單的例子

矩陣的向量乘法，在矩陣中，矩陣乘單位向量也服從乘法的結合律，我舉幾個典型的例子：

1.

      1 2 3         8

A={[4 5 6] ×B=[5]}=

      7 8 9         2

這個A就是A11×單位向量的B11+A12×B12+A13×B13+A21×B11+A22×B12+A23×B13+A31×B11+A32×B12+A33×B13=

1×8+2×5+3×2   24

4×8+5×5+6×2=[69]

7×8+8×5+9×2  114

2.

      1 2         2

A=[3 4]×B=[    ]=

     5  6         3

這個就是A11×B11+A12×B12+A21×B11+A22×B12+A31×B21+A32×B22=

1×2+2×3    8

3×2+4×3=[18]

5×2+6×3   28

3.

      1 2 3 4          1

A=[5 6 7  8]×B=[ 2]=

      3 0 1 1          3

                           4

A11×B11+A12×B12+A13×B13+A14×B14

A21×B11+A22×B12+A23×B13+A24×B14=

A31×B11+A12×B32+A13×B13+A34×B14

1×1+2×2+3×3+4×4   30

5×1+6×2+7×3+8×4=[70]

3×1+0×2+1×3+1×4   10

從上面我已經闡釋單位向量的計算過程，也就是一對一加二對二加三對三的運算過程

矩陣的性質和運算法則

下面就是對向量乘法的基本運算法則的基本理解

以上面的一個特殊矩陣

    1 2         2

A=[3 4]×B=[    ]=

     5  6         3

來說3×2的矩陣乘以2×1的舉證就等於3×1的矩陣

也就是簡述了當m×n的矩陣乘以n×t的矩陣就等於m×t的矩陣，在我的理解看來哪個在前面就是以哪個的行作為結果，哪個在最后就以哪個的列作為結果

下面介紹一些矩陣的運算法則

1.矩陣的運算不服從交換律A×B≠B×A

2.矩陣的乘法滿足結合律。即：A(B×C)=(A×B)C。

3.單位矩陣：單位矩陣起着特殊的作用，如同數的乘法中的 1,我們稱這種矩陣為單位矩陣

一般用 𝐼 或者 𝐸 表示，即從左上角到右下角的對角線（稱為主對角線）上的元素均為 1 以外全都為 0。

矩陣的逆，轉置

轉置的作用相當於對矩陣進行旋轉，就是行變成列，列變成列。

而逆就是矩陣的負一次方，也就是1/A,所以A的逆乘A就是等於1，也等於I，

假若Aij=a(i,j),那么他的轉置矩陣x中相同的元素就是x(j,i),所以轉置的作用就是將m×n變為n×m。

所以A轉置后的舉證也叫做AT，他也服從一下性質:

(𝐴 ± 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇± 𝐵𝑇

(𝐴 × 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇× 𝐴𝑇

(𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴

(𝐾𝐴)𝑇 = 𝐾𝐴𝑇