矩阵乘法以及矩阵的逆，转置

矩阵的乘法

先举一个简单的例子

矩阵的向量乘法，在矩阵中，矩阵乘单位向量也服从乘法的结合律，我举几个典型的例子：

1.

      1 2 3         8

A={[4 5 6] ×B=[5]}=

      7 8 9         2

这个A就是A11×单位向量的B11+A12×B12+A13×B13+A21×B11+A22×B12+A23×B13+A31×B11+A32×B12+A33×B13=

1×8+2×5+3×2   24

4×8+5×5+6×2=[69]

7×8+8×5+9×2  114

2.

      1 2         2

A=[3 4]×B=[    ]=

     5  6         3

这个就是A11×B11+A12×B12+A21×B11+A22×B12+A31×B21+A32×B22=

1×2+2×3    8

3×2+4×3=[18]

5×2+6×3   28

3.

      1 2 3 4          1

A=[5 6 7  8]×B=[ 2]=

      3 0 1 1          3

                           4

A11×B11+A12×B12+A13×B13+A14×B14

A21×B11+A22×B12+A23×B13+A24×B14=

A31×B11+A12×B32+A13×B13+A34×B14

1×1+2×2+3×3+4×4   30

5×1+6×2+7×3+8×4=[70]

3×1+0×2+1×3+1×4   10

从上面我已经阐释单位向量的计算过程，也就是一对一加二对二加三对三的运算过程

矩阵的性质和运算法则

下面就是对向量乘法的基本运算法则的基本理解

以上面的一个特殊矩阵

    1 2         2

A=[3 4]×B=[    ]=

     5  6         3

来说3×2的矩阵乘以2×1的举证就等于3×1的矩阵

也就是简述了当m×n的矩阵乘以n×t的矩阵就等于m×t的矩阵，在我的理解看来哪个在前面就是以哪个的行作为结果，哪个在最后就以哪个的列作为结果

下面介绍一些矩阵的运算法则

1.矩阵的运算不服从交换律A×B≠B×A

2.矩阵的乘法满足结合律。即：A(B×C)=(A×B)C。

3.单位矩阵：单位矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称这种矩阵为单位矩阵

一般用 𝐼 或者 𝐸 表示，即从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。

矩阵的逆，转置

转置的作用相当于对矩阵进行旋转，就是行变成列，列变成列。

而逆就是矩阵的负一次方，也就是1/A,所以A的逆乘A就是等于1，也等于I，

假若Aij=a(i,j),那么他的转置矩阵x中相同的元素就是x(j,i),所以转置的作用就是将m×n变为n×m。

所以A转置后的举证也叫做AT，他也服从一下性质:

(𝐴 ± 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇± 𝐵𝑇

(𝐴 × 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇× 𝐴𝑇

(𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴

(𝐾𝐴)𝑇 = 𝐾𝐴𝑇