本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则
1.行乘列
乘法一般性法则：行乘列得到一个数。
假设有两个矩阵 \(A、B\) ，并且我们让 \(A*B=C\), 可以求得矩阵 \(C\) 中 \(i\) 行 \(j\) 列元素：
\[C_{\text{ij}}=( \text{row$\_$i}\ \text{at}\ A) ( \text{column$\_$j}\ \text{at}\ B) \]
即矩阵 \(A\) 中 \(i\) 行点乘以矩阵 \(B\) 中的 \(j\) 列，就是矩阵 \(C\) 中 \(i\) 行 \(j\) 列的元素。
注意是 “行*列”。
例如
\[A=\left( \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots \\ \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ \end{array} \right) \]
\[B=\left( \begin{array}{ccccc} \square & \square & \square & b_{14} & \square \\ \square & \square & \square & b_{24} & \square \\ \square & \square & \square & b_{34} & \square \\ \square & \square & \square & \cdots & \square \\ \end{array} \right) \]
则 矩阵 \(C\) 中 第3行4列元素为：
\[\begin{align} C_{34}&=a_{31} b_{14}+a_{32} b_{24}+a_{33} b_{34}+\cdots \text{}+a_{3 n} b_{\text{n4}}\\&=\sum _{k=1}^n a_{3 k} b_{\text{k4}} \end{align} \]
前提条件是矩阵 \(A\) 的总列数 必须和矩阵 \(B\) 中的总行数相等。
假设矩阵 \(A\) 是 \(m*n\) 矩阵，矩阵 \(B\) 是 \(n*p\) 矩阵， 那么 矩阵 \(C=A*B\)， 矩阵 \(C\) 是 \(m*p\) 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵\(A\) 的一行与矩阵 \(B\) 的一列的点乘，可以得到矩阵\(C\) 中的一个元素，那么 \(m\) 行乘以 \(p\) 列就可以得到 \(m*p\) 个元素，所以矩阵 \(C\) 是 \(m*p\) 矩阵。
2.矩阵列的线性组合
举例：
\[\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]
\[A*B=C \]
矩阵 \(A\) 的所有列乘以 \(B\) 的列1得到矩阵 \(C\) 的列1，矩阵 \(A\) 乘以 \(B\) 的列2得到矩阵 \(C\) 的列2....
将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 \(B\) 可以看成 p 个单独的列向量，只是这里排在一起。用矩阵 \(A\) 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 \(C\) 的各列。
矩阵 \(C\) 中的各列，是矩阵 \(A\) 中各列的线性组合，矩阵 \(B\) 表示是怎么样的线性组合。
3.矩阵行的线性组合
\[\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]
\[A*B=C \]
同样的例子，我们从矩阵行的角度看，可以看成矩阵 \(A\) 的每一行乘以矩阵 \(B\) 所有行,可以得到相应矩阵\(C\) 的每一行。
比如矩阵 \(A\) 的第一行乘以矩阵\(B\) 的所有行，可以得到矩阵 C的第一行。
矩阵 \(C\) 中的各行，是矩阵 \(B\) 中各行的线性组合，矩阵 \(A\) 表示是怎么样的线性组合。
4.列乘行
如果用矩阵 \(A\) 一列乘以矩阵 \(B\) 的一行，将得到一个完整的矩阵。
例如：矩阵 \(A\) 为 \(m*1\) ,矩阵\(B\) 为 \(1*p\)，
\[\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 12 \\ 3 & 18 \\ 4 & 24 \\ \end{array} \right) \]
延申
\[\left( \begin{array}{cc} 2 & 7 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} 7 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]
列一乘以行一，列二乘以行二，然后相加。
5.分块乘法
我们还可以将矩阵切割成块，对块进行乘法。
例如：我们将方阵 \(A\) 切割成4份，方阵 \(B\) 切割成 4份。
\[\left( \begin{array}{cc} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \\ \end{array} \right).\left( \begin{array}{cc} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} A_1 B_1+A_2 B_3 & \cdots \\ \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]
逆矩阵
矩阵的逆，不一定存在。
假设矩阵 \(A\) 可逆，那么存在一个逆矩阵，我们记为 \(A^{-1}\),使得
\[A^{-1}*A=I \]
\(I\) 是单位矩阵。
注意这里只是左乘，如果 \(A\) 是方阵，就存在左乘等于右乘，即
\[A^{-1}*A=A*A^{-1}=I \]
但如果是非方阵，左乘就不等于右乘。
逆不存在的情况
举例：
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{array} \right) \]
理由阐述可以从以下不同角度：
1）这个矩阵由于列向量在同一条直线上，所以他们的线性组合被限定在这条直线上，不存在某个逆矩阵，使得他们相乘后结果为单位矩阵。
2）从行列式角度，取行列式结果为0（后面学）
3）假设存在某个非零矩阵 \(X\) ,使得
\[A*X=0 \]
那么 \(A\) 就没有逆矩阵。
这个例子中，我们就可以找到一个 \(X\) ,如
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]
我们可以用反证法证明：假设 \(A\) 存在逆矩阵，那么存在
\[A^{-1}*A=I \]
\[A^{-1}*A*X=0 \]
\[X=0 \]
很明显，和前面 \(X\) 是非0矩阵矛盾。
结论：不可逆矩阵的列能通过线性组合得到0.
回归逆存在情况
再假设一个可逆矩阵 \(A\)，使得
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]
看成列的线性组合，就是求解两个线性方程组，
求解我们可以用“高斯-若尔当”，它能同时处理两个方程组
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c \\ d \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]
利用“高斯-若尔当”思想一起计算，同时考虑系数矩阵和两个右侧向量，写出增广矩阵，然后对其消元
\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) \]
第二步就是我们前面学过的高斯消元，即“向下消元”
而第三步是若尔当消元，即“向上消元”，主元是第二行第二个元素“1”.
这里我们就求出我们要的 \(A\) 的逆矩阵为：
\[\left( \begin{array}{cc} 7 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right) \]
因为：
\[E*\left[ \begin{array}{cc} A & I \\ \end{array} \right]=[I \quad E]=\left[I\quad A^{-1}\right] \]
\(E\) 表示我们引入的总的消元矩阵，最左边就表示对增广矩阵消元，因为\(E*A=I\) ,所以\(E\) 就是\(A\) 的逆矩阵。
以上就是求逆的方法和过程。
