矩陣乘法的幾種做法
行乘列
矩陣乘列
行乘矩陣
列乘行
塊乘塊
單位陣
一個矩陣乘以單位矩陣等於本身
\[\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\\\ 4&5&6\\\\ 7&8&9 \end{array} \right] \times{ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right]}= \left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array} \right] \end{equation} \]
逆矩陣
一個矩陣乘以它的逆矩陣等於單位陣
\[\begin{equation} A^{-1} \times A = I = A \times A^{-1} \end{equation} \]
無逆的矩陣
如下矩陣無逆
\[\left[\begin{array}{ccc} 1&3\\ 2&6 \end{array} \right] \]
我們看下原因
從列的角度思考
第一列向量和第二列向量在一條線上，它們是倍數關系，即使去掉其中一列，矩陣張成的空間也不變。你無論用什么矩陣乘它，得到的都是在這條線上的玩意，而單位陣中的每個向量是不共線的，所以。。。
可以的出結論，如果一個n維方陣不能撐開整個n維空間，他就沒有逆。所以下面是矩陣沒有逆的條件
\[\begin{equation} \exists \,vector \,x \,(x \not = 0) \,st. \,Ax=0\\ 存在一個向量x（x不是零向量）使得Ax為零向量 \end{equation} \]
因為有一對下向量是倍數關系，對於這兩列我們很容易取一個系數讓結果為0,比如上面的例子，第二列是第一列的三倍，我們只需要取3倍的列一和-1倍的列二結果就為0，所以，對於上面的矩陣，x為：
\[\left[\begin{array}{ccc} 3\\ -1 \end{array} \right] \]
如果還存在其他不共線的向量直接取0倍即可。
從行列式的角度思考
矩陣行列式為0時矩陣沒逆
因為有兩列共線，消元后就有一個為0的主元，行列式必然是0
高斯若爾當法求逆矩陣
假設我們有矩陣A，求解它的逆矩陣，假如那個標滿黑人問號的矩陣為所求矩陣，那肯定滿足如下公式：
\[\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1&3\\ 2&7 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} ?&?\\ ?&? \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right] \end{equation} \]
我們線把單位矩陣和A組合起來，變成A的增廣矩陣：
\[\begin{equation} \left[\begin{array}{ccc} 1&3&1&0\\ 2&7&0&1 \end{array}\right] \end{equation} \]
然后對它消元
\[\begin{equation} 行2減去2倍行1\\ \left[\begin{array}{ccc} 1&3&1&0\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right]\\ 行1減去3倍行2\\ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&7&-3\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right]\\ \end{equation} \]
然后左側原來的矩陣A變成了單位陣，右側的就是A的逆矩陣，原理就是我們刻意通過消元找到一個矩陣E乘A為單位陣，因為E在平常的消元步驟中不體現出來，所以把A變成加個單位陣的增廣矩陣，E就能體現出來了。
\[\begin{equation} E\times AI = IE(E=A^{-1}) \end{equation} \]
AB的逆
\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]