逆矩阵

本文转载自查看原文 2020-06-21 15:23 1155 线性代数

1.定义：

设 $A$ 是数域上的一个 $n$ 阶方阵，若在相同数域上存在另一个 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使得： $AB=BA=E$ 。则我们称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，而 $A$ 则被称为可逆矩阵，记为 $A^{-1}$ 。

这里 $E$ 是单位矩阵： $\left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &\cdot\cdot\cdot & 0 \\ 0 &1 &\cdot\cdot\cdot & 0 \\ \cdot\cdot\cdot\\ 0 &0 &\cdot\cdot\cdot & 1 \\ \end{array} \right)$ ，也就是主对角线（就这一条啊，别的都不算）全是“ $1$ ”，别的地方全是“ $0$ ”，且单位矩阵一定是方阵。

解毒：现在都知道矩阵不过是一张数表了吧，那么现在暂且先告诉你，要求原矩阵的逆矩阵，那么原矩阵就必须是个方阵（即矩阵 $A_ {n\times n}$ 的是 $n$ 行 $n$ 列的)，且 $|A|≠0$ （唉，完了完了，行列式又忘记讲了...）。所谓在相同数域上存在，也就是原矩阵和逆矩阵的都是相同的（复数域C、实数域R、有理数域Q...)。当 $AB=BA=E$ 时，之前说了矩阵乘法是没有交换率，但这里可以理解为一个倒数乘以它本身就等于 $1$ （单位矩阵嘛，差不多差不多）。

下面讲解法： $A^ {-1}=\frac{1}{|A|}A^{\ast}$ （1.1）

从式1.1中就可以看出，原矩阵就必须是个方阵，且 $|A|≠0$ ，因为在不知道广义逆之前，只有方阵才能算行列式的值，且其作为分母不能为零。

$A^{\ast}$ 就是方阵 $A$ 的“伴随矩阵”（真的......算了还是写在这里吧）。

在行列式里讲了余子式 $M_{ij}$ 和代数余子式 $A_{ij}$ ，那伴随矩阵其实就是 $A^ {\ast}=\left( \begin{array}{ccc} A_{1,1} &A_{1,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{1,n} \\ A_{2,1} &A_{2,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{2,n} \\ \cdot\cdot\cdot\\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,n} \\ \end{array} \right)^{T}= \left( \begin{array}{ccc} A_{1,1} &A_{2,1} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,1} \\ A_{1,2} &A_{2,2} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,2} \\ \cdot\cdot\cdot\\ A_{1,n} &A_{2,n} &\cdot\cdot\cdot & A_{n,n} \\ \end{array} \right)$

也就是方阵 $A$ 的“伴随矩阵" 就是把方阵 $A$ 中的元素 $a_{ij}$ 替换成对应的代数余子式 $A_{ij}$ 然后转置即可。

作者：网瘾少年

链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/32888611
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

2、矩阵的伪逆和左右逆

伪逆矩阵：

伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写：max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X，并且满足：AXA=A,XAX=X.此时，称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性，但不与inv(A)完全等同。　如果A为非奇异方阵，pinv(A)=inv(A)，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，inv(A)花费更少的时间。

https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5082508.html

免责声明！

本站转载的文章为个人学习借鉴使用，本站对版权不负任何法律责任。如果侵犯了您的隐私权益，请联系本站邮箱yoyou2525@163.com删除。

猜您在找 矩阵的逆关于矩阵的逆对角矩阵的逆矩阵如何求矩阵的逆矩阵矩阵论 - 3 - 矩阵乘法和逆矩阵矩阵（一）：矩阵乘法和逆矩阵矩阵求逆 C语言计算逆矩阵矩阵的秩及矩阵的广义逆求一个矩阵的逆矩阵(用伴随矩阵求)