向量：[a1, a2, a3, ..., an]
矩陣：
a11, a12, a13, ..., a1n
a21, a22, a23, ..., a2n
...
an1, an2, an3, ..., ann
現只討論這個n階非奇異方陣，如果一組向量彼此線性無關——它們就可以成為度量這個線性空間的一組基→成為一個坐標系體系，其中每一個向量都躺在一根坐標軸上，並且成為那根坐標軸上的基本度量單位（長度1）。
比如把點(1, 1)變到點(2, 3)，可以有兩種做法：①坐標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)；②點不動，坐標系動，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的坐標就變成(2, 3)了。 方式不同，結果一樣。
第①種方式即把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，“Ma = b”的意思是：向量a經過矩陣M所描述的變換，變成了向量b；而從第②種方式來看，矩陣M描述了一個坐標系，姑且也稱之為M。那么“Ma = b”的意思是：有一個向量，它在坐標系M的度量下得到的度量結果向量為a，那么它在坐標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。
這里的I是指單位矩陣。而這兩個方式本質上是等價的。在M為坐標系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環境聲明。它相當於是說： “注意了！這里有一個向量，它在坐標系M中度量，得到的度量結果可以表達為a。可是它在別的坐標系里度量的話，就會得到不同的結果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在坐標系M中度量的結果。那么我們再看孤零零的向量b：
b 多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：
Ib
也就是說：“在單位坐標系，也就是我們通常說的直角坐標系I中，有一個向量，度量的結果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是說：
“在M坐標系里量出來的向量a，跟在I坐標系里量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！”這哪里是什么乘法計算，根本就是身份識別嘛。從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個坐標系中去度量它，然后把度量的結果（向量在各個坐標軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的坐標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的坐標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下這個表示是在哪個坐標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的坐標系中度量出來的結果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含着是說，這個向量在 I 坐標系中的度量結果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。
注意到，M矩陣表示出來的那個坐標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個坐標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應該要指明其所處的基准坐標系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 坐標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個在M坐標系中量出的另一個坐標系N，其中M本身是在I坐標系中度量出來的。
回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定坐標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的坐標系變換”，那個“固定對象”我們找到了，就是那個向量。但是坐標系的變換呢？我怎么沒看見？
請看：
Ma = Ib
我現在要變M為I，怎么變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個坐標系M嗎，現在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M坐標系中的a在I中一量，就得到b了。
我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個坐標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個坐標系里，坐標為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾坐標系里的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個坐標系:
2 0
0 3
的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來坐標系就變成單位坐標系I了。保持點不變，那個向量現在就變成了(2, 3)了。
怎么能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原坐標系：
2 0
0 3
被矩陣：
1/2 0
0 1/3
左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。
下面我們得出一個重要的結論：
“對坐標系施加變換的方法，就是讓表示那個坐標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。”矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個坐標系