通過上網搜索，找到一篇不錯的講解。
原文http://mdsa.51cto.com/art/201707/544991.htm
首先
文章講解了面積的矢量表示方法：即兩個矢量映射出面積大小。第一個矢量是(1.0),第二個矢量是(0,1),也就是說兩個矢量分別是X軸和Y軸上的單位為正的單位向量,那么由這兩個矢量構成的四邊形,這個四邊形其實就是一個正方形,根據面積的定義,其實就是寬=11=1。
寫成矢量表示就是
齊次性：
加法的線性映射：
實際通過加法的線性映射，我們可以得到
這像不像把矩陣[[1,0],[0,1]]的上下兩行交換，所得到矩陣的行列式是原矩陣行列式的相反數。
行列式
現在我們假設用平面內的任意兩個矢量所張成的平行四邊形的面積,現在用公式來進行表示，好比兩個矢量（a，0），（0，d）組成的長方形面積減去兩個矢量（0，b），（c，0）組成的長方形面積，注意：減去是因為
在這里,其實我們不難看到,所謂的面積其實就是一個2*2的矩陣的行列式：
其實在這里,我們可以把各種維度所代表的東西來總結下,二維所代表的是平面內的面積,三維自然而然其實就是三維空間內的體積,四維其實就是四維空間內的超體積.依次類推.
秩
A是一個N*N的矩陣，a向量是列向量，V是N維體的體積：
N維體的體積是（注意到，第二個等式實際上說明了幾何意義是如何定義矩陣乘法的，也就是NN矩陣A和另外一個N個列向量組成的NN矩陣的乘法）：
A的行列式如果不為零，則代表這個變換后，N維體的體積不是NULL。又結合線性無關與體積的性質，我們可以說：
如果A的行列式不為零，那么A可以把一組線性無關的矢量，映射成一組新的，線性無關的矢量；A是可逆的（一對一的映射，保真映射，KERNEL是{0}）
如果A的行列式為零，那么A就會把一組線性無關的矢量，映射成一組線性相關的矢量
如果A的行列式為負數，那么A將會改變原N維體體積的朝向。
注意：從線性無關到線性相關，其中丟失了部分信息（例如坍縮成共線或者共面）。
比如:一個秩為2為3*3的矩陣A,因為秩小於3,那么任何一個3維六面體（對應上面的V，我們已經知道三維矩陣的行列式代表體積，這個3維六面體的體積也就是V的行列式）經過他的變化（對應上面的V'）后,體積變為0,退化一個面（對應上面V'的行列式，也就是|A|V，此時由於A不是滿秩，所以造成體積坍縮成共面）,但是仍然存在一個面積不為0的面,在變換以后還是一個非零面積的面。