線性代數的本質(3)——矩陣與線性變換

 

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself ---Morpheus

正如墨菲斯所說：沒人能夠清楚地告訴你矩陣是什么，你必須自己親自看看。

3.1 線性變換（Linear transformation）

變換實際上是“函數”的一種，為啥不采用“函數”來命名。使用“變換”就暗示可以按照某種特定的方式“可視化”輸入與輸出的關系，變換作為動詞，我們用一種運動的方式來思考問題。

運動的方式看變換

（一） 什么是線性變換

如果將變換做如下限制：

• 直線變換后依然是直線，不能有彎曲
• 原點保持不點
• 我們將這樣的變換稱為“線性變換”。

嚴格定義：如果變換 是線性的，則需要滿足如下性質則稱為線性變換（與上面的兩條限制是等價的）：

eg：關於原點的旋轉就是線性變換。

（二） 非線性變換的特例：

1）變換后不能保持直線

2）變換后原點位置發生了變化 如：仿射變換

3）變化后原來的 直線變彎曲了

3.2 線性變換的數值表達

那么如何用數值的方法來表達這種變換？ 我們來看一個變換：在此變換過程中，我們記錄基向量終點在變換后坐標的落腳點

運動的方式看變換，注意基坐標位置的改變

那么我們來看該變換后的向量利用變換后的基坐標來表示：

變換后的結果

那么該變換下，任意向量變換后的向量可以表示為：

可以看出，二維線性變換僅由四個數字完全確定，而這四個數字對應於基向量變換后的坐標

因為線性變換可以視為”網格線平行且等距分布“，所以變換前后的向量關於基向量的線性組合保持不變！

3.2 變換用矩陣來表達

如果將這個變換組成一個矩陣 ,那么矩陣的列向量 對應變換后基向量的坐標：

那么將向量 進行該變換，實際上就是

這與縮放基向量的思想保持一致。

（一）矩陣乘法

一般化，任意向量 經過變換 ，實際上就是

這個過程就可以定義為“矩陣乘法”。

 

 但當我們把矩陣的列看做變換后的基向量，把矩陣乘法看做變換后向量的線性組合，這樣想是不是更有意思？注意黃線

（二）特殊變換

坐標系逆時針旋轉90度，對應的變換矩陣為

 

 

 

剪切變換（錯切）（x坐標保持不變，y坐標變化為對角線），對應的變換矩陣為

3.3 總結

1. 線性變換是操作空間的一種手段，它能夠保持網格線平行且等距，並保持原點不動；

2. 矩陣乘法可以視為一種基向量的線性組合

3.矩陣乘法為計算線性變換作用於特定向量提供了一種途徑，以二維空間中的變換為例： 經過一定的線性變換，我們關注基坐標變換后的位置，將其新的位置坐標構成矩陣，特別地，矩陣的列向量為描述線性變換提供了可能。

4. 矩陣可以理解為一種線性變換，這樣將有助於后面的矩陣乘法、行列式、基變換、特征值的理解。