线性代数的本质(3)——矩阵与线性变换

 

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself ---Morpheus

正如墨菲斯所说：没人能够清楚地告诉你矩阵是什么，你必须自己亲自看看。

3.1 线性变换（Linear transformation）

变换实际上是“函数”的一种，为啥不采用“函数”来命名。使用“变换”就暗示可以按照某种特定的方式“可视化”输入与输出的关系，变换作为动词，我们用一种运动的方式来思考问题。

运动的方式看变换

（一） 什么是线性变换

如果将变换做如下限制：

• 直线变换后依然是直线，不能有弯曲
• 原点保持不点
• 我们将这样的变换称为“线性变换”。

严格定义：如果变换 是线性的，则需要满足如下性质则称为线性变换（与上面的两条限制是等价的）：

eg：关于原点的旋转就是线性变换。

（二） 非线性变换的特例：

1）变换后不能保持直线

2）变换后原点位置发生了变化 如：仿射变换

3）变化后原来的 直线变弯曲了

3.2 线性变换的数值表达

那么如何用数值的方法来表达这种变换？ 我们来看一个变换：在此变换过程中，我们记录基向量终点在变换后坐标的落脚点

运动的方式看变换，注意基坐标位置的改变

那么我们来看该变换后的向量利用变换后的基坐标来表示：

变换后的结果

那么该变换下，任意向量变换后的向量可以表示为：

可以看出，二维线性变换仅由四个数字完全确定，而这四个数字对应于基向量变换后的坐标

因为线性变换可以视为”网格线平行且等距分布“，所以变换前后的向量关于基向量的线性组合保持不变！

3.2 变换用矩阵来表达

如果将这个变换组成一个矩阵 ,那么矩阵的列向量 对应变换后基向量的坐标：

那么将向量 进行该变换，实际上就是

这与缩放基向量的思想保持一致。

（一）矩阵乘法

一般化，任意向量 经过变换 ，实际上就是

这个过程就可以定义为“矩阵乘法”。

 

 但当我们把矩阵的列看做变换后的基向量，把矩阵乘法看做变换后向量的线性组合，这样想是不是更有意思？注意黄线

（二）特殊变换

坐标系逆时针旋转90度，对应的变换矩阵为

 

 

 

剪切变换（错切）（x坐标保持不变，y坐标变化为对角线），对应的变换矩阵为

3.3 总结

1. 线性变换是操作空间的一种手段，它能够保持网格线平行且等距，并保持原点不动；

2. 矩阵乘法可以视为一种基向量的线性组合

3.矩阵乘法为计算线性变换作用于特定向量提供了一种途径，以二维空间中的变换为例： 经过一定的线性变换，我们关注基坐标变换后的位置，将其新的位置坐标构成矩阵，特别地，矩阵的列向量为描述线性变换提供了可能。

4. 矩阵可以理解为一种线性变换，这样将有助于后面的矩阵乘法、行列式、基变换、特征值的理解。