矩陣論練習18（值域和核空間的正交補空間）

問題

假設 \(A\in C^{s\times n}\). 定義線性映射 \(f: R^n\rightarrow R^s\) 為

\[f(x) = Ax,\forall x\in R^n \]

分別記 \(f\) 的值域及核空間為 \(R(A), K(A)\). 證明 \(R(A)^\perp=K(A^H)\), \(K(A)^\perp = R(A^H)\)

解答

\(f\) 的定義域 \(R^n=L(e_1,\cdots,e_n)\)，基 \(e_i\) 是單位矩陣的第 \(i\) 列，這些基生成了 \(R^n\)。（這里有兩個 \(R\)，一個代表實數空間，一個代表值域，不要混淆）。
把 \(A\) 寫成 \(A=[a_1,\cdots,a_n]\)，則 \(Ae_i=a_i\)，則 \(f\) 的值域 \(R(A)=L(f(e_1),\cdots,f(e_n)) =L(a_1,\cdots,a_n)\).
要計算 \(R(A)^\perp\)，任取 \(R^s\) 中的元素 \(\eta\)， 則

\[\begin{aligned} \eta\in R(A)^\perp &\Leftrightarrow \eta\perp R(A) \\ &\Leftrightarrow \eta\perp a_j, j=1,2,\cdots, n \\ &\Leftrightarrow a_j^H\cdot \eta = 0, j=1,2,\cdots, n\\ &\Leftrightarrow A^H\eta = \theta\\ &\Leftrightarrow \eta \in K(A^H) \end{aligned} \]

因此，所有 \(\eta\) 形成的空間即 \(R(A)^\perp\)，有 \(R(A)^\perp=K(A^H)\)。
下面求 \(K(A)^\perp\)，這里不必再重復計算，利用 \((A^H)^H = A\) 代入上一個等式，有 \(R(A^H)^\perp = K(A)\)；再利用 \((A^\perp)^\perp = A\)，代入上式，得 \(R(A^H)=K(A)^\perp\)。
綜上所述，\(R(A)^\perp=K(A^H)\), \(K(A)^\perp = R(A^H)\)。

實例

上面是抽象的證明，下面看一個簡單的例子。
設 \(A=\left [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ -1& 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right ]\)，
\(W=\{x|Ax=\theta\}\)，求 \(W^\perp\) 的一組標准正交基。

解答

\(W^\perp = K(A)^\perp = R(A^H)\)，則 \(W^\perp\) 的一組基就是 \(A^H\) 的列向量的極大無關組，然后正交化標准化即可。