題目
在 \(V=R_3[x]\) 中定義內積：\(<f(x),g(x)>=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx\)，求 \(V\) 的一組標准正交基。
解答
思路：先找出一組基，再 Schmidt 正交化，然后再標准化即可。
- 在 \(R_3[x]\) 中選定基 \([\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]=[1,x,x^2]\)
- 正交化：
a. \(\beta_1=\alpha_1=1\)
b. \(\beta_2=\alpha_2 - \frac{<\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 = x\)
c. \(\beta_3=\alpha_3 - \frac{<\alpha_3,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2 - \frac{<\alpha_3,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 = x^2 - \frac{1}{3}\)
上面省略中間計算步驟，比如要求 \(<\alpha_2,\beta_1>\)， \(<\alpha_2,\beta_1>=\int_{-1}^1 (x\cdot 1) dx=0\).
- 標准化
a. \(\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
b. \(\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|}=\sqrt{\frac{3}{2}}x\)
c. \(\gamma_3 = \frac{\beta_3}{\| \beta_3 \|}=\sqrt{\frac{45}{8}}(x^2-\frac{1}{3})\)
其實就積分，要算 \(\| \beta_1 \|\), \(\| \beta_1 \|=\sqrt{<\beta_1,\beta_1>}=\sqrt{\int_{-1}^1 (1\cdot 1)dx}=\sqrt{2}\)
其余計算這里就不計算了。
由以上步驟可以看出，內積的定義決定了什么樣的基是正交基，同時內積的定義方式也影響向量的長度。