我們先來看圖，看看這個方法的操作過程，等一下，我找找我的大學的線性代數課本，找到啦！（哈哈，雖然讀研了，因為我是菜鳥，所以還是隨時帶着）如下圖所示：
大部分人在考研時候都是直接背下來這個正交化過程對吧，或者也根本沒有搞懂為啥這樣操作就能夠得到正交化的基，現在就結合我的理解來分析一下這個原理吧
1.首先我們看看這個正交化過程，因為a1,a2...an為一組基向量（大佬們請原諒我用a字母代替阿爾法希臘字母，實在是太難輸入了，嘻嘻！），只是滿足k1a1+k2a2+k3a3+...knan=0時候，一定有系數k1=k2=...=kn=0，但是如果，a1,a2...an沒有任意兩者內積為零，也就是他們不是正交的，這就說明了一個問題，a1,a2...an這些基向量之間有冗余（如果是正交基的話，應該是不存在這個問題的），意思就是他們之間的一些分量可能重疊了，還不理解?（我以前學習的時候聽到這些也是一臉蒙逼）哈哈，沒關系，那我就來舉個例子吧，我們看下面的例子：
情況一：假如：
a1=(1,0) , a2=(0,1)
我們先來測試他是不是一組基（這兩個向量也太簡單了，勞資一眼就能看出來是吧，哈哈，我們假裝不知道，人生不易，全靠演技！），上面我說了，是不是一組基就看他是不是線性無關，即：
k1a1+k2a2=0,看看是否k1=k2=0,如果k1=k2=0,那么a1,a2線性無關，否則就是線性相關了
我們帶入進去看看
k1(1,0)+k2(0,1)=0，很明顯了，k1=k2=0，所以a1,a2線性無關，而且a1*a2=0，（這里面*都表示向量內積）所以a1垂直a2，即a1,a2正交，那么說明a1,a2是一組正交基，
又因為a1,a2的模長（就是向量所確定的點到原點的距離）為1的，
即|a1|=|a2|=1，所以a1,a2是一組標准正交基（有的書可能叫做規范正交基）
情況二：現在我再假如：
a1=(1,0)，a2=(1,1)
我們再驗證一下，k1(1,0)+k2(1,1)=0，很明顯了，k1=k2=0，發現他們還是線性無關的，就說明他們還是一組基，
但是a1*a2不等於0，所以a1不垂直a2，即a1,a2不正交，那么他們不是正交基。
（不寫了，凌晨1.24了，已經很晚了，以前高中為了考個牛逼點的985，那時候經常一點多才睡，嘻嘻！不過現在不想那樣了，得趕緊睡覺，明天早上繼續寫，晚安各位大佬！）
吃了個早餐繼續寫，接着昨天晚上的內容：
這時候我們發現a1,a2雖然是一組基，但是不是正交的，我們可以將這個情況二與情況一對比一下就是發現，我最開始說的，a1,a2向量的有些分量就會有冗余，我們發現a2的第一個分量與a1的第一個分量都是1，這里我們就可以看成是一種分量冗余了，所以這兩個向量沒有垂直（正交）
這里我先定義一下符號表示：假設e1,e2,e3...en向量分別為a1,a2,a3...an向量標准正交化后得到的向量
那現在引出了我們的問題，如何才能在第一個向量a1的基礎上，包括后面的a2,a3...an都兩兩向量正交化呢，
我們心里最自然的想法當然是：如果我們能夠在a2向量中扣除與a1向量冗余的部分（別擔心扣除后a2與a1不再線性無關了，因為扣除后a2就與a1正交了，所以一定是線性無關，仍然是一組基而且是正交基），a3中扣除與a1,a2冗余的部分，a4中扣除與a3,a2,a1冗余的部分，an中扣除與前面所有向量a1,a2...an-1冗余的部分，那這樣是不是就達到了正交化的目的呢，現在我告訴你，沒錯，這個正交化算法的操作過程就是這樣（哈哈，好好想想，是不是感覺特別簡單，恨自己不早生100年，不然這個算法就是自己發明的啦，哈哈！！！）
那我們現在就舉個例子來驗證一下我們剛剛這個偉大的想法是不是正確的：
為了便於理解，我們先從二維空間開始（事實上我覺得學習抽象的知識就應該這樣，線性代數的高維空間是高度抽象的，估計現在世界上都還沒有人能想象出高維空間是啥樣的，所以咱們從二維平面，實實在在看得見的東西開始，然后再類比推理到高維空間，就很容易理解了），仍然用我們情況二的a1=(1,0)，a2=(1,1)，我們先來畫個圖（電腦自帶的畫板軟件畫的，嘻嘻），看看這兩個向量的樣子：
我們上面說了a1,a2不垂直，那么他們就是某些分量有冗余的，從這個圖就能看出來，a2,a1向量夾角明顯小於90度，但是因為a1,a2線性無關，所以可以作為一組基，能表示出這個平面中的任何一個向量。
但是現在我們需要在a1,a2向量中找出正交的兩個向量e1,e2作為新的一組基，即正交基（因為正交基形式簡單，具有很多優良性質，所以數學家需要找到這組基）
我們先在a1的基礎上進行，令e1=a1/|a1|，即我們先單位化（也叫做標准化）a1，然后這就是成為了第一個標准正交基，從剛剛的想法，應該是在a2中扣除與a1的冗余部分，那么剩下的向量部分肯定就是與a1正交的了（實際上就是我們把a2向量再正交分解一次，分解為為冗余的a1和垂直於a1的a1‘向量），從圖中可以看出，a2由兩部分構成，a1和a1'向量（這個向量實際上就是垂直於a1的），也就是：a2=?a1 + a1'，但是我們寫為更一般的形式，
a2=c*e1?+ a1'，（注：因為我們已經令e1=a1/|a1|，即e1已經是單位化的了，所以a2在a1向量方向上的單位分量肯定得帶一個系數c，剛好我舉的這個例子這里c=1罷了），現在我們只要能找出這個a1’向量（因為前面沒帶系數，那么我們找到的a1‘向量可能不是單位化的，我們一定得正交化一次，才能成為第二個標准正交基）即可，
也就是找到了a2中蘊藏的第二個正交基 e2=a1'/|a1'|
根據a2=c*e1?+ a1'，推出
a1'=a2 - c*e1?即為我們所求，這里因為c是未知系數，我們是求不出a1’的，因此我們得先求出系數c即可
再結合一個條件：a1'得垂直於e1，即使得a1' * e1=0（他兩內積得為零）
現在我們帶a1'=a2 - c*e1進入a1' * e1=0，得到：
（a2 - c*e1）*e1=0 ，展開得到
a2*e1=c*e1*e1，因為e1*e1=1（單位向量與自己內積當然是等於模長啦！就是=1的）即
c=a2*e1=(a2,e1) （寫成了向量內積的括號表示方式）
由於a2，e1都是已知的向量，所以這里我們就求出了系數c，那么結合上面的式子a1'=a2 - c*e1就可以求得第二個正交向量，
帶入向量的值，a2=（1,1），e1=（1,0），計算得到：
a1'=?a2 -?(a2,e1)*e1=?a2 -?e1=（0,1）
此時再單位化得到的第二個正交基a1'向量，e2=?a1' / |a1'|=（0,1） / 1=（0,1），就得到了我們的第二個標准正交基
哈哈，是不是發現這個（0,1）向量正好是圖中那個y軸上面的與a1垂直的a1'向量，那這就對了，雖然舉的這個例子比較簡單，而且參數也比較特殊了一點，但是足以說明這個問題的本質了，你還可以試着自己舉一些不同方向，不同長度的a1，a2向量，然后安照這個原理進行正交化，你會發現，完全正確！
現在e1，e2都找到了，那么這個標准正交化就結束了。
現在我們用最開始書本圖片上那個正交化公式來計算一遍，看看是不是和我們這個結果吻合的：
β1=?a1，（我剛剛標准正交基向量用的是e1，e2的符號，書上這里用的是β1，β2，不過沒關系，知道就好）
β2=?a2 - （β1，a2） / （β1，β1） *?β1
帶入向量的值，a2=（1,1），β1=?a1?=（1,0），計算得到：
β2=（1,1）- 1/1 * （1,0）=（0,1）
這個結果跟咱們剛剛那個綠色的結果比較一下，是不是發現完全一樣，哈哈，這就說明咱們最上面那個紫色的那段話的思想是完全正確的，恭喜你，要是時間退回兩百年前，那么發明這個算法的數學家就是你了，哈哈！
現在我們已經掌握了這個正交化的原理以及精髓，現在我們需要做更一般的推理，推廣到高維向量空間（什么？空間是啥你不知道？好吧，我解釋一下，空間就是集合的別名，比如數軸上的所有全體實數組成的集合，我們叫做實數集對吧，我們還可以叫做實數空間，懂了吧！！！）
現在為了表述更清晰，向量我又換了幾個符號來表示，不過這個沒關系，聰明的你總是能分辨白天黑夜的！！！
符號說明：這里用g1，g2，g3..gn來代表上面的線性無關向量組a1,a2,a3,...an。h1,h2...hn代表正交后得到的向量a1',a2'...an'
最終的單位正交向量還是用e1,e2,...en表示。廢話不多說，咱們開始，前方高能，請認真閱讀，不懂的聯系我qq2488890051.
設{ g1,g2,g3,...gn }為n維空間中的一組線性無關元素系
令e1=?g1 / |g1|，作h2=?g2 -?c21*e1（這兒就是扣除第一個正交基的冗余部分），求出c21，利用條件h2⊥e1，即
（h2，e1）=（g2，e1）- （c21*e1，e1）=0
故
c21=（g2，e1），即可求得上面的h2
令e2=?h2 / |h2|，作h3=?g3 - （c31*e1 +?c32*e2）（即：我們最開始說的，得扣除和之前向量e1，e2冗余的部分，雅思機經只是那時候咱們是二維而已），求c31，c32，使得，h3⊥e1，h3⊥e2，可求得：
c31=（g3，e1），c32=（g3，e2），即可求得h3
令e3=?h3 / |h3|，..........
以此類推。
設e（n-1）（注：這里n-1是下標，為了書寫方便，我加了個括號，即第n-1個標准正交基）已得，
作 hn=?gn - （cn1*e1+?cn2*e2+......c（n-1）*e（n-1））（注：即為扣除前面所有的冗余向量）
使?hn⊥e1，hn⊥e2，hn⊥e3.......hn⊥e（n-1），求得cn1，cn2，cn3.......c（n-1）等系數，即：
cn1=（gn，e1），cn2=（gn，e2），cn3=（gn，e3）.....cn(n-1)=(gn，e（n-1））
即可求得hn
令?en=?hn / |hn|，.......
由此而得到的{e1，e2，e3......en}即為由{g1，g2，g3......gn}標准正交化（也叫做規范正交化）而得到的標准正交系（規范正交系）。
這里講一下，上面這個紅色加粗字體，系數的來源的通熟易懂的直觀理解，前面我們用的是
h2=?g2 -?c21*e1，求出c21，利用條件h2⊥e1，即（h2，e1）=（g2，e1）- （c21*e1，e1）=0
故c21=（g2，e1），從而求出的這個系數，這個是嚴格的推導而來，沒有任何問題。現在我們來如下思考，就更加容易結合實際意義來理解了。
若A=c1*a1 + c2*a2 + c3*a3 + ...cn*an? 這里A是更一般的（即更抽象性，代表了不同事物的相同本質的東西），英國留學費用A可能是個向量，也可能是一個函數。這里面a1,a2,a3,......an互相垂直的一組標准正交基，即內積為零，函數也是有基函數，有內積的，所以這里說的東西適用於向量和函數，c1，c2...cn為這些基的系數。現在假如我們想求A在某一個基（分量）的系數，那么怎么求呢，實際上就是用 cn=（an，A），即用an去與A作內積，由於這些基兩兩正交，所以必然只有an *?an這一項不為零，那么
（an，A）=?an*cn*an=?cn*1=cn?這個系數了嘛（an*an=1的，因為是標准正交基，模長為1），上面紅色加粗字體部分我們求向量的系數是如此，實際上求函數的標准正交基的系數也是如此，下面我舉一個函數的例子：
我們知道傅立葉變換中，滿足狄利克雷條件的f（x）都可以展開成傅立葉級數，
即1，cosx，sinx，cos2x，sin2x......cosnx，sinnx，...（因為他們是一組完備的正交基，什么是完備？？？哈哈，就是你再也找不到另外一個基函數可以與他們兩兩相交的，他們就已經是整個宇宙中能找到的最完整的一組正交基了，但是他們為啥不是標准正交基？我們來積分一下，因為∫cosxdx從-pi到pi積分=?pi，而不是1。不過這個沒關系，我們把它除以一個pi就可以將他們單位化了，即1/π，1/π*cosx，1/π*sinx，1/π*cos2x，1/π*sin2x......1/π*cosnx，1/π*sinnx，...他們現在就是一組標准正交基函數了）
我們現在把f（x）展開成三角函數的標准正交基的表示形式，這里用an表示cosnx的系數，bn表示sinnx的系數，即：
f（x）=?a0*1/π*cos0x + b0*1/π*sin0x(注：這一項=0) + a1*1/π*cosx + b1*1/π*sinx + a2 * 1/π*cos2x + b2*1/π*sin2x + ...... +?an*1/π*cosnx + bn*1/π*sinnx
即：
f（x）=?a0*1/π + a1*1/π*cosx + b1*1/π*sinx + a2 * 1/π*cos2x + b2*1/π*sin2x + ...... +?an*1/π*cosnx + bn*1/π*sinnx）
根據上面粉紅色的字體部分說的，求某個正交基上面的系數的方法就是用這個正交基去內積f（x）即可，即：
a1=(1/π*cosx，f(x)）=∫f(x)*1/π*cosxdx，? ? ? ? ? ? ? ? b1=(1/π*sinx，f(x) ）=?∫f(x)*1/π*sinxdx
a2?=(1/π*cos2x，f(x)）=∫f(x)*1/π*cos2xdx，? ? ? ? ? ? b2?=(1/π*sin2x，f(x)）=?∫f(x)*1/π*sin2xdx
......
an?=(1/π*cosnx，f(x)）=∫f(x)*1/π*cosnxdx，? ? ? ? ? ? bn?=(1/π*sinnx，f(x)）=?∫f(x)*1/π*sinnxdx
即：
an=1/π*∫f(x) * cosnxdx? ? ? ?(n=0,1,2,3....)，特別的，當n=0時，a0=1/π∫f(x)dx
bn=1/π*∫f(x) * sinnxdx? ? ? (n=1,2,3....)
哈哈，這就是傅立葉變換后，系數的求解方法，大佬，你記住了嗎！！！
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