正交向量
正交是垂直的令一種說法，兩個向量正交意味着兩個向量的夾角是90°。
這可以用直角三角形的三邊解釋：
當x和y正交時，二者的點積是0，反過來也一樣。這個結論在n維空間也適用，當Rn空間內的兩個向量x和向量y正交時：
如果x是零向量，xTy還是0，也意味着零向量和任意向量正交。
正交子空間
正交性還可以推廣到子空間，如果說一個子空間V和另一個子空間W正交，那么V中的每一個向量和W中的每一個向量正交。
子空間V的正交子空間W也稱為V的正交補空間，或V的正交補，記作：
正交與垂直
以我們比較熟悉的三維空間為例，牆角就可以看作一個典型的空間坐標系，兩個牆面和地面兩兩垂直，每個平面都是三維空間中的二維子空間，這是否意味着子空間的正交呢？並不是這樣，兩個平面垂直並不等同於兩個子空間正交，可以輕易找出兩個分屬於兩個平面但不垂直的向量。實際上，在牆壁與地面的交接處，沿着接縫方向的向量同屬於兩個平面，但它們不會自己正交與自己，除非是零向量。
這樣看來，“正交是垂直的令一種說法”並不完全准確，實際上，正交一定垂直，垂直不一定正交。
通過平面的例子可以看出，如果兩個子空間交於一個非零向量，那么這兩個子空間一定不會正交。換句話說，如果兩個子空間正交，它們只能交於零向量（單獨的點就是零向量，它沒有方向，或者說有任意方向，並且模長為0）。
在同一個平面中正交的例子有哪些呢？
回顧一下子空間的定義，如果V是Rn的線性子空間，則V一定滿足三個條件：
- 包含0向量；
- x是V中的一個向量，x和一個標量的乘積也在V中，即數乘封閉性；
- a和b是V中的向量，a+b也在V中，即加法封閉性。
由此可見平面內只有三個子空間：原點、過原點的直線、整個平面。這樣一來答案就很清晰了：
- 過原點的直線任何時候都不會和整個平面正交；
- 原點和所有過原點的直線正交，也和整個平面正交；
- 如果兩個過原點的向量的點積是0，二者正交。
四個基本子空間的正交補
先看行空間如何正交與零空間。零空間的意義是Ax = 0時x的解集：
這樣會發現，A中的每個行向量都正交於零空間中的x：
a(i)表示A中的第i行行向量，a(i)x = 0當於一個向量垂直於一個超平面。當然，行空間不僅僅包括這幾行，還包括它們的線性組合，只要證明滿足加法和數乘封閉性即可：
列空間相當於A轉置后的行空間，道理是一樣的，所以列空間也正和零空間正交。
A是m×n矩陣，四個基本子空間的正交性可以用下圖表示，其中r是矩陣的秩：
這相當於把m維空間分割成兩個子空間，n維空間分割成另兩個子空間，子空間的維數滿足圖中的要求。如果用正交補的記法，上圖可以看作：
以三維空間中為例：
A的行向量是線性相關的，A的秩是1，所以行空間是1維的，是一條直線，與之正交的零空間是垂直於行向量的平面，<1, 3, 5>就是這個平面的法向量，由此可以得到平面方程：
作者：我是8位的
