【線性代數】正交投影

       我們在初中就應該學過投影。那么什么是投影呢？形象點說，就是將你須要投影的東西上的每一點向你要投影的平面作垂線，垂線與平面的交點的集合就是你的投影。

注意這里我們的投影是向量的投影，幾何的投影(並不一定是垂直投影的)可見度娘百科。

相同的，我們從簡單的二維投影來開始討論。

   1、二維投影

上圖表示的是，向量b在向量a上的投影。顯然有例如以下表達式：

當中，P為投影矩陣，由P的表達式能夠看出，它具有例如以下性質：

2、三維投影

       三維投影，就是將一個向量投影到一個平面上。同上面一樣，如果是將b向量投影到平面上的p向量，則有表達式：

e是垂直與平面的向量。

因為p向量在平面上。則p向量能夠由該平面的2個線性無關向量(正如。在xy平面的不論什么向量都能夠由x軸，y軸表示)表示：

因為e垂直平面，則e向量垂直與平面中的隨意向量。則有：

將上式化簡求得x：

又由於p=Ax，Pb=p，則得到投影矩陣為：

由P的表達式能夠看出，它具有例如以下性質：

上面的投影矩陣是通式。當投影在一維情況時，A即為直線上的隨意一個向量a,投影矩陣為：

注意：一個數值的逆是它的倒數。

3、舉例說明

以下以一個實例來說明：

如上圖，如果我們要將向量b投影到水平面上。其投影為p，a1,a2為水平面的兩個線性無關向量，它們的參數分別為：

那么A=[a1 a2]即：

由上面我們求得的通式，可得投影矩陣P:

知道投影矩陣P后。我們能夠得到b在水平面上的投影p為：

顯然，p與我們圖中所看到的的結果同樣。這里我們是以三維情況進行舉例的，更高維情況。我們無法用圖像來描寫敘述，可是通式也是成立的。

三維圖的matlab程序例如以下：

clear all
clc
 
a1=[1 0 0];
a2=[0 1 0];
b=[1 1 1];
p=[1 1 0];
e=b-p;
quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41174555

作者：nineheadedbird