數學基礎弱，我真是個渣渣
下面來整理一下2021.10.19學到的知識
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一、正交投影
我們在初中就應該學過投影，那么什么是投影呢？形象點說，就是將你需要投影的東西上的每一點向你要投影的平面作垂線，垂線與平面的交點的集合就是你的投影。注意這里我們的投影是向量的投影，幾何的投影(並不一定是垂直投影的)可見度娘百科。同樣的，我們從簡單的二維投影來開始討論。
1、二維投影
上圖表示的是，向量b在向量a上的投影。顯然有如下表達式：
其中，P為投影矩陣，由P的表達式可以看出，它具有如下性質：
2、三維投影
三維投影，就是將一個向量投影到一個平面上。同上面一樣，假設是將b向量投影到平面上的p向量，則有表達式：
e是垂直與平面的向量。由於p向量在平面上，則p向量可以由該平面的2個線性無關向量(正如，在xy平面的任何向量都可以由x軸，y軸表示)表示：
由於e垂直平面，則e向量垂直與平面中的任意向量，則有：
將上式化簡求得x：
又因為p=Ax，Pb=p，則得到投影矩陣為：
由P的表達式可以看出，它具有如下性質：
上面的投影矩陣是通式，當投影在一維情況時，A即為直線上的任意一個向量a,投影矩陣為：
注意：一個數值的逆是它的倒數。
3、舉例說明
下面以一個實例來說明：
如上圖，假設我們要將向量b投影到水平面上，其投影為p，a1,a2為水平面的兩個線性無關向量，它們的參數分別為：
那么A=[a1 a2]即：
由上面我們求得的通式，可得投影矩陣P:
知道投影矩陣P后，我們可以得到b在水平面上的投影p為：
顯然，p與我們圖中所示的結果相同。這里我們是以三維情況進行舉例的，更高維情況，我們無法用圖像來描述，但是通式也是成立的。
三維圖的matlab程序如下：
clear all
clc
a1=[1 0 0];
a2=[0 1 0];
b=[1 1 1];
p=[1 1 0];
e=b-p;
quiver3(0,0,0,a1(1),a1(2),a1(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,a2(1),a2(2),a2(3),1,'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,p(1),p(2),p(3),1,'color','g')
hold on
quiver3(p(1),p(2),p(3),e(1),e(2),e(3),1,'color','b')