施密特正交化 GramSchmidt

施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt兩個人一起發明的，但是后來因為施密特名氣更大，所以該方法被簡記為施密特正交化。

借用 《線性代數》P117-例2 的例子來運行代碼。

\[a_1 = (1,2,-1)^T \\ a_2 = (-1,3,1)^T \\ a_3 = (4,-1,0)^T \]

正交化后：

\[a_1 = (1,2,-1)^T \\ a_2 = \frac{5}{3}(-1,1,1)^T \\ a_3 = 2(1,0,1)^T \]

單位化后：

\[a_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)^T \\ a_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,3,1)^T \\ a_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(4,-1,0)^T \]

代碼實現

python3 的 sympy 包實現了 GramSchmidt 方法。

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt
l = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]
o = GramSchmidt(l)

計算結果如下：

[Matrix([
 [ 1],
 [ 2],
 [-1]]), 
 Matrix([
 [-5/3],
 [ 5/3],
 [ 5/3]]), 
 Matrix([
 [2],
 [0],
 [2]])]

單位化也就是在調用函數的時候傳入參數。

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt
l = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]
o = GramSchmidt(l, True)

計算結果如下：

[Matrix([
[ sqrt(6)/6],
[ sqrt(6)/3],
[-sqrt(6)/6]]), 
Matrix([
[-sqrt(3)/3],
[ sqrt(3)/3],
[ sqrt(3)/3]]), 
Matrix([
[sqrt(2)/2],
[        0],
[sqrt(2)/2]])]

sympy.Matrix 與 Numpy 的互操作

Matrix 轉 Numpy.array

import numpy as np
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt
l = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]
o = GramSchmidt(l, True)
m = np.array(o)

內積計算

(m[0] * m[1]).sum()

References

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Gram–Schmidt_process

[2] GramSchmidt. sympy: https://docs.sympy.org/latest/modules/matrices/matrices.html?highlight=gramschmidt#sympy.matrices.dense.GramSchmidt