淺談壓縮感知（十九）：MP、OMP與施密特正交化

關於MP、OMP的相關算法與收斂證明，可以參考：http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5047174.html，這里僅簡單陳述算法流程及二者的不同之處。

主要內容：

1. MP的算法流程及其MATLAB實現
2. OMP的算法流程以及MATLAB實現
3. MP與OMP的區別
4. 施密特正交化與OMP的關系

一、MP（匹配追蹤）的算法流程：

二、MP的MATLAB實現：

% MP：匹配追蹤算法
% dictionary: 超完備字典
% x: 待表示信號
% M = 4; N = 10;
% Phi = randn(M,N); % 字典
% for nn = 1:N
%     Phi(:,nn) = Phi(:,nn)/norm(Phi(:,nn));
% end
% b = randn(M,1); % 信號
function x = MP(dictionary,x,iter)
[M,N] = size(dictionary);
residual = zeros(M,iter); %殘差矩陣，保存每次迭代后的殘差
residual(:,1) = x; %初始化殘差為x
L = size(residual,2); %得到殘差矩陣的列
pos_num = zeros(1,L); %用來保存每次選擇的列序號
resi_norm = zeros(1,L); %用來保存每次迭代后的殘差的2范數
resi_norm(1) = norm(x); %因為前面已初始化殘差為x
iter_out = 1e-3;
iter_count = 0;

for mm = 1:iter
    %迭代退出條件
    if resi_norm(mm) < iter_out
        break;
    end
    %求出dictionary每列與上次殘差的內積
    scalarproducts = dictionary'*residual(:,mm);
     %找到內積中最大的列及其內積值
    [val,pos] = max(abs(scalarproducts));
    %更新殘差
    residual(:,mm+1) = residual(:,mm) - scalarproducts(pos)*dictionary(:,pos);
    %計算殘差的2范數（平方和再開根號）
    resi_norm(mm+1) = norm(residual(:,mm+1));
     %保存選擇的列序號
    pos_num(mm) = pos;
    iter_count = iter_count + 1;
end
%繪出殘差的2范數曲線
resi_norm = resi_norm(1:iter_count+1);
plot(resi_norm);grid;
%顯示選擇的字典原子
pos_num = pos_num(1:iter_count);
disp(pos_num);
%稀疏系數(稀疏表示)
dict = dictionary(:,pos_num);
y_vec = (dict'*dict)^(-1)*dict'*x;
disp(y_vec);
figure;plot(y_vec);

三、OMP（正交匹配追蹤）的算法流程：

四、OMP的MATLAB實現：

% MP：匹配追蹤算法
% dictionary: 超完備字典
% x: 待表示信號
% M = 4; N = 10;
% Phi = randn(M,N); % 字典
% for nn = 1:N
%     Phi(:,nn) = Phi(:,nn)/norm(Phi(:,nn));
% end
% b = randn(M,1); % 信號
function x = OMP(dictionary,x,iter)
[M,N] = size(dictionary);
residual = zeros(M,iter); %殘差矩陣，保存每次迭代后的殘差
residual(:,1) = x; %初始化殘差為x
L = size(residual,2); %得到殘差矩陣的列
pos_num = zeros(1,L); %用來保存每次選擇的列序號
resi_norm = zeros(1,L); %用來保存每次迭代后的殘差的2范數
resi_norm(1) = norm(x); %因為前面已初始化殘差為x
iter_out = 1e-3;
iter_count = 0;
aug_mat = [];

for mm = 1:iter
    %迭代退出條件
    if resi_norm(mm) < iter_out
        break;
    end
    %求出dictionary每列與上次殘差的內積
    scalarproducts = dictionary'*residual(:,mm);
    %找到內積中最大的列及其內積值
    [val,pos] = max(abs(scalarproducts));
    %最小二乘的增廣矩陣
    aug_mat = [aug_mat dictionary(:,pos)];
    %最小二乘投影
    proj_y = aug_mat*(aug_mat'*aug_mat)^(-1)*aug_mat'*x;
    %更新殘差
    residual(:,mm+1) = x - proj_y;
    %計算殘差的2范數（平方和再開根號）
    resi_norm(mm+1) = norm(residual(:,mm+1));
     %保存選擇的列序號
    pos_num(mm) = pos;
    iter_count = iter_count + 1;
end
%繪出殘差的2范數曲線
resi_norm = resi_norm(1:iter_count+1);
plot(resi_norm);grid;
%顯示選擇的字典原子
pos_num = pos_num(1:iter_count);
disp(pos_num);
%稀疏系數
dict = dictionary(:,pos_num);
y_vec = (dict'*dict)^(-1)*dict'*x;
disp(y_vec);
figure;plot(y_vec);

五、MP與OMP的區別：

OMP與MP的不同根本在於殘差更新過程：OMP減去的Pe_m是e_m在所有被選擇過的原子組成的矩陣Φ_t所張成空間上的正交投影，而MP減去的Pe_m是e_m在本次被選擇的原子φ_m所張成空間上的正交投影。基於此，OMP可以保證已經選擇過的原子不會再被選擇。

六、施密特（Schimidt）正交化與OMP

1、施密特(Schimidt)正交化的過程:

上面的的[x,y]表示向量內積，[x,y]=x^Ty=y^Tx=[x,y]。施密特正交化公式中的b_r實際上可寫為：

分子之所以可以這么變化是由於[x,y]實際上為一個數，因此[x,y]x=x[x,y]= xx^Ty。

2、OMP與施密特(Schimidt)正交化的關系：

結論：OMP分解過程，實際上是將所選原子依次進行Schimidt正交化，然后將待分解信號減去在正交化后的原子上各自的分量即可得殘差。其實(式3)求殘差的過程也是在進行施密特正交化。

3、驗證OMP殘差求解過程與Schmidt正交化的關系

% 驗證OMP殘差求解過程與Schmidt正交化的關系
%
clc;clear;close all;
M = 4; N = 10;
Phi = randn(M,N); % 字典
for nn = 1:N
    Phi(:,nn) = Phi(:,nn)/norm(Phi(:,nn));
end
b = randn(M,1); % 信號
res0 = b; % 初始化殘差為待稀疏信號b
% OMP
% 選擇字典第一個原子
c1 = Phi'* res0; % 求矩陣Phi各列與b的內積
[val1,pos1] = max(abs(c1)); % 找到內積中最大的列及其內積值
phit = [Phi(:,pos1)]; % 由所有選出的列組合的矩陣
Pphi = phit*(phit'*phit)^(-1)*phit'; % 正交投影變換矩陣
omp_res1 = res0 - Pphi*res0; % OMP用上一次殘差減去殘差在phit列空間的正交投影
omp_resb = b - Pphi*b; % OMP用待稀疏信號b減去b在phit列空間的正交投影
% Schimidt
x = Phi(:,pos1); % Schimidt正交化第一個向量
Px = x*(x'*x)^(-1)*x';
smt_res1 = res0 - Px*b; % 實際上是b - Px*b
% test 
norm(omp_res1-omp_resb)
norm(omp_resb-smt_res1)

% OMP
% 選擇字典第二列
c2 = Phi' * omp_res1;
[val2,pos2] = max(abs(c2));
phit = [Phi(:,pos1) Phi(:,pos2)]; 
Pphi = phit*(phit'*phit)^(-1)*phit';
omp_res2 = omp_res1 - Pphi*omp_res1;
omp_resb = b - Pphi*b;
% Schimidt
y = Phi(:,pos2) - Px*Phi(:,pos2); % Schimidt正交化第二個向量
Py = y*(y'*y)^(-1)*y';
smt_res2 = smt_res1 - Py*b; % 實際上是b - Px*b - Py*b，上一次殘差減去b在第2列正交化所得z上的投影
% test
norm(omp_res2-omp_resb)
norm(omp_resb-smt_res2)

% OMP
% 選擇字典第三列
c3 = Phi' * omp_res2;
[val3,pos3] = max(abs(c3));
phit = [Phi(:,pos1) Phi(:,pos2) Phi(:,pos3)];
Pphi = phit*(phit'*phit)^(-1)*phit';
omp_res3 = omp_res2 - Pphi*omp_res2; 
omp_resb = b - Pphi*b;
% Schimidt
z = Phi(:,pos3) - Px*Phi(:,pos3) - Py*Phi(:,pos3);  % Schimidt正交化第三個向量
Pz = z*(z'*z)^(-1)*z';
smt_res3 = smt_res2 - Pz*b; % 實際上是b - Px*b - Py*b - Pz*b，上一次殘差減去b在第3列正交化所得z上的投影
% test
norm(omp_res3-omp_resb)
norm(omp_resb-smt_res3)

參考文章：

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45099655

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45100351