淺談壓縮感知（二十五）：壓縮感知重構算法之分段正交匹配追蹤（StOMP）

主要內容：

1. StOMP的算法流程
2. StOMP的MATLAB實現
3. 一維信號的實驗與結果
4. 門限參數Ts、測量數M與重構成功概率關系的實驗與結果

一、StOMP的算法流程

分段正交匹配追蹤(Stagewise OMP)也是由OMP改進而來的一種貪心算法，與CoSaMP、SP算法類似，不同之處在於CoSaMP、SP算法在迭代過程中選擇的是與信號內積最大的2K或K個原子，而StOMP是通過門限閾值來確定原子。此算法的輸入參數中沒有信號稀疏度K，因此相比於ROMP及CoSaMP有獨到的優勢（這句話存在疑問）。

StOMP的算法流程：

二、StOMP的MATLAB實現(CS_StOMP.m)

function [ theta ] = CS_StOMP( y,A,S,ts )
%   CS_StOMP
%   Detailed explanation goes here
%   y = Phi * x
%   x = Psi * theta
%    y = Phi*Psi * theta
%   令 A = Phi*Psi, 則y=A*theta
%   S is the maximum number of StOMP iterations to perform
%   ts is the threshold parameter
%   現在已知y和A，求theta
%   Reference:Donoho D L，Tsaig Y，Drori I，Starck J L．Sparse solution of
%   underdetermined linear equations by stagewise orthogonal matching 
%   pursuit[J]．IEEE Transactions on Information Theory，2012，58(2)：1094—1121
    if nargin < 4
        ts = 2.5; %ts范圍[2,3],默認值為2.5
    end
    if nargin < 3
        S = 10; %S默認值為10
    end
    [y_rows,y_columns] = size(y);
    if y_rows<y_columns
        y = y'; %y should be a column vector
    end
    [M,N] = size(A); %傳感矩陣A為M*N矩陣
    theta = zeros(N,1); %用來存儲恢復的theta(列向量)
    pos_num = []; %用來迭代過程中存儲A被選擇的列序號
    res = y; %初始化殘差(residual)為y
    for ss=1:S %最多迭代S次
        product = A'*res; %傳感矩陣A各列與殘差的內積
        sigma = norm(res)/sqrt(M); %參見參考文獻第3頁Remarks(3)
        Js = find(abs(product)>ts*sigma); %選出大於閾值的列
        Is = union(pos_num,Js); %pos_num與Js並集
        if length(pos_num) == length(Is)
            if ss==1
                theta_ls = 0; %防止第1次就跳出導致theta_ls無定義
            end
            break; %如果沒有新的列被選中則跳出循環
        end
        %At的行數要大於列數，此為最小二乘的基礎(列線性無關)
        if length(Is)<=M
            pos_num = Is; %更新列序號集合
            At = A(:,pos_num); %將A的這幾列組成矩陣At
        else %At的列數大於行數，列必為線性相關的,At'*At將不可逆
            if ss==1
                theta_ls = 0; %防止第1次就跳出導致theta_ls無定義
            end
            break; %跳出for循環
        end
        %y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
        theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y; %最小二乘解
        %At*theta_ls是y在At列空間上的正交投影
        res = y - At*theta_ls; %更新殘差
        if norm(res)<1e-6 %Repeat the steps until r=0
            break; %跳出for循環
        end
    end
    theta(pos_num)=theta_ls; %恢復出的theta
end

三、一維信號的實驗與結果

%壓縮感知重構算法測試
clear all;close all;clc;
M = 64; %觀測值個數
N = 256; %信號x的長度
K = 12; %信號x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1); %x為K稀疏的，且位置是隨機的
Psi = eye(N); %x本身是稀疏的，定義稀疏矩陣為單位陣x=Psi*theta
Phi = randn(M,N)/sqrt(M); %測量矩陣為高斯矩陣
A = Phi * Psi; %傳感矩陣
y = Phi * x; %得到觀測向量y

%% 恢復重構信號x
tic
theta = CS_StOMP(y,A);
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
toc

%% 繪圖
figure;
plot(x_r,'k.-'); %繪出x的恢復信號
hold on;
plot(x,'r'); %繪出原信號x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢復殘差：');
norm(x_r-x) %恢復殘差

四、門限參數ts、測量數M與重構成功概率關系的實驗與結果

clear all;close all;clc;

%% 參數配置初始化
CNT = 1000;%對於每組(K,M,N)，重復迭代次數
N = 256;%信號x的長度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定義稀疏矩陣為單位陣x=Psi*theta
ts_set = 2:0.2:3;
K_set = [4,12,20,28,36];%信號x的稀疏度集合
Percentage = zeros(N,length(K_set),length(ts_set));%存儲恢復成功概率

%% 主循環，遍歷每組(ts,K,M,N)
tic
for tt = 1:length(ts_set)
    ts = ts_set(tt);
    for kk = 1:length(K_set)
        K = K_set(kk);%本次稀疏度
        %M沒必要全部遍歷，每隔5測試一個就可以了
        M_set=2*K:5:N;
        PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存儲此稀疏度K下不同M的恢復成功概率
        for mm = 1:length(M_set)
           M = M_set(mm);%本次觀測值個數
           fprintf('ts=%f,K=%d,M=%d\n',ts,K,M);
           P = 0;
           for cnt = 1:CNT %每個觀測值個數均運行CNT次
                Index_K = randperm(N);
                x = zeros(N,1);
                x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x為K稀疏的，且位置是隨機的                
                Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%測量矩陣為高斯矩陣
                A = Phi * Psi;%傳感矩陣
                y = Phi * x;%得到觀測向量y
                theta = CS_StOMP(y,A,10,ts);%恢復重構信號theta
                x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
                if norm(x_r-x)<1e-6%如果殘差小於1e-6則認為恢復成功
                    P = P + 1;
                end
           end
           PercentageK(mm) = P/CNT*100;%計算恢復概率
        end
        Percentage(1:length(M_set),kk,tt) = PercentageK;
    end
end
toc
save StOMPMtoPercentage1000 %運行一次不容易，把變量全部存儲下來

%% 繪圖
for tt = 1:length(ts_set)
    S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
    figure;
    for kk = 1:length(K_set)
        K = K_set(kk);
        M_set=2*K:5:N;
        L_Mset = length(M_set);
        plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,tt),S(kk,:));%繪出x的恢復信號
        hold on;
    end
    hold off;
    xlim([0 256]);
    legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');
    xlabel('Number of measurements(M)');
    ylabel('Percentage recovered');
    title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,ts=',...
        num2str(ts_set(tt)),')(Gaussian)']);
end
for kk = 1:length(K_set)
    K = K_set(kk);
    M_set=2*K:5:N;
    L_Mset = length(M_set);
    S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*';'-k+'];
    figure;
    for tt = 1:length(ts_set)
        plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,tt),S(tt,:));%繪出x的恢復信號
        hold on;
    end
    hold off;
    xlim([0 256]);
    legend('ts=2.0','ts=2.2','ts=2.4','ts=2.6','ts=2.8','ts=3.0');
    xlabel('Number of measurements(M)');
    ylabel('Percentage recovered');
    title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,K=',...
        num2str(K),')(Gaussian)']);    
end

1、門限參數ts分別為2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0時，不同稀疏信號下，測量值M與重構成功概率的關系：

2、稀疏度為4,12,20,28,36時，不同門限參數ts下，測量值M與重構成功概率的關系：

結論：

通過對比可以看出，總體上講ts=2.4或ts=2.6時效果較好，較大和較小重構效果都會降低，這里由於沒有ts=2.5的情況，但我們推測ts=2.5應該是一個比較好的值，因此一般默認取為2.5即可。

六、參考文章

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45441601