主要內容：
- gOMP的算法流程
- gOMP的MATLAB實現
- 一維信號的實驗與結果
- 稀疏度K與重構成功概率關系的實驗與結果
一、gOMP的算法流程
廣義正交匹配追蹤(Generalized OMP, gOMP)算法可以看作為OMP算法的一種推廣。OMP每次只選擇與殘差相關最大的一個，而gOMP則是簡單地選擇最大的S個。之所以這里表述為"簡單地選擇"是相比於ROMP之類算法的，不進行任何其它處理，只是選擇最大的S個而已。
gOMP的算法流程：
二、gOMP的MATLAB實現(CS_gOMP.m)
function [ theta ] = CS_gOMP( y,A,K,S ) % CS_gOMP % Detailed explanation goes here % y = Phi * x % x = Psi * theta % y = Phi*Psi * theta % 令 A = Phi*Psi, 則y=A*theta % 現在已知y和A，求theta % Reference: Jian Wang, Seokbeop Kwon, Byonghyo Shim. Generalized % orthogonal matching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing, % vol. 60, no. 12, pp. 6202-6216, Dec. 2012. % Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf if nargin < 4 S = round(max(K/4, 1)); end [y_rows,y_columns] = size(y); if y_rows<y_columns y = y';%y should be a column vector end [M,N] = size(A);%傳感矩陣A為M*N矩陣 theta = zeros(N,1);%用來存儲恢復的theta(列向量) Pos_theta = [];%用來迭代過程中存儲A被選擇的列序號 r_n = y;%初始化殘差(residual)為y for ii=1:K%迭代K次，K為稀疏度 product = A'*r_n;%傳感矩陣A各列與殘差的內積 [val,pos]=sort(abs(product),'descend');%降序排列 Sk = union(Pos_theta,pos(1:S));%選出最大的S個 if length(Sk)==length(Pos_theta) if ii == 1 theta_ls = 0; end break; end if length(Sk)>M if ii == 1 theta_ls = 0; end break; end At = A(:,Sk);%將A的這幾列組成矩陣At %y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square) theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解 %At*theta_ls是y在At)列空間上的正交投影 r_n = y - At*theta_ls;%更新殘差 Pos_theta = Sk; if norm(r_n)<1e-6 break;%quit the iteration end end theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢復出的theta end
三、一維信號的實驗與結果
%壓縮感知重構算法測試 clear all;close all;clc; M = 128;%觀測值個數 N = 256;%信號x的長度 K = 30;%信號x的稀疏度 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x為K稀疏的，且位置是隨機的 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定義稀疏矩陣為單位陣x=Psi*theta Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%測量矩陣為高斯矩陣 A = Phi * Psi;%傳感矩陣 y = Phi * x;%得到觀測向量y %% 恢復重構信號x tic theta = CS_gOMP( y,A,K); x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta toc %% 繪圖 figure; plot(x_r,'k.-');%繪出x的恢復信號 hold on; plot(x,'r');%繪出原信號x hold off; legend('Recovery','Original') fprintf('\n恢復殘差：'); norm(x_r-x)%恢復殘差
四、稀疏數K與重構成功概率關系的實驗與結果
% 壓縮感知重構算法測試CS_Reconstuction_KtoPercentagegOMP.m % Reference: Jian Wang, Seokbeop Kwon, Byonghyo Shim. Generalized % orthogonal matching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing, % vol. 60, no. 12, pp. 6202-6216, Dec. 2012. % Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf clear all;close all;clc; addpath(genpath('../../OMP/')) %% 參數配置初始化 CNT = 1000; %對於每組(K,M,N)，重復迭代次數 N = 256; %信號x的長度 Psi = eye(N); %x本身是稀疏的，定義稀疏矩陣為單位陣x=Psi*theta M_set = [128]; %測量值集合 KIND = ['OMP ';'ROMP ';'StOMP ';'SP ';'CoSaMP ';... 'gOMP(s=3)';'gOMP(s=6)';'gOMP(s=9)']; Percentage = zeros(N,length(M_set),size(KIND,1)); %存儲恢復成功概率 %% 主循環，遍歷每組(K,M,N) tic for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm); %本次測量值個數 K_set = 5:5:70; %信號x的稀疏度K沒必要全部遍歷，每隔5測試一個就可以了 %存儲此測量值M下不同K的恢復成功概率 PercentageM = zeros(size(KIND,1),length(K_set)); for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk); %本次信號x的稀疏度K P = zeros(1,size(KIND,1)); fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K); for cnt = 1:CNT %每個觀測值個數均運行CNT次 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1); %x為K稀疏的，且位置是隨機的 Phi = randn(M,N)/sqrt(M); %測量矩陣為高斯矩陣 A = Phi * Psi; %傳感矩陣 y = Phi * x; %得到觀測向量y %(1)OMP theta = CS_OMP(y,A,K); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(1) = P(1) + 1; end %(2)ROMP theta = CS_ROMP(y,A,K); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(2) = P(2) + 1; end %(3)StOMP theta = CS_StOMP(y,A); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(3) = P(3) + 1; end %(4)SP theta = CS_SP(y,A,K); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(4) = P(4) + 1; end %(5)CoSaMP theta = CS_CoSaMP(y,A,K); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(5) = P(5) + 1; end %(6)gOMP,S=3 theta = CS_gOMP(y,A,K,3); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(6) = P(6) + 1; end %(7)gOMP,S=6 theta = CS_gOMP(y,A,K,6); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(7) = P(7) + 1; end %(8)gOMP,S=9 theta = CS_gOMP(y,A,K,9); %恢復重構信號theta x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6 %如果殘差小於1e-6則認為恢復成功 P(8) = P(8) + 1; end end for iii = 1:size(KIND,1) PercentageM(iii,kk) = P(iii)/CNT*100; %計算恢復概率 end end for jjj = 1:size(KIND,1) Percentage(1:length(K_set),mm,jjj) = PercentageM(jjj,:); end end toc save KtoPercentage1000gOMP %運行一次不容易，把變量全部存儲下來 %% 繪圖 S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+']; figure; for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm); K_set = 5:5:70; L_Kset = length(K_set); for ii = 1:size(KIND,1) plot(K_set,Percentage(1:L_Kset,mm,ii),S(ii,:)); %繪出x的恢復信號 hold on; end end hold off; xlim([5 70]); legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',... 'gOMP(s=3)','gOMP(s=6)','gOMP(s=9)'); xlabel('Sparsity level K'); ylabel('The Probability of Exact Reconstruction'); title('Prob. of exact recovery vs. the signal sparsity K(M=128,N=256)(Gaussian)');
結論：gOMP只是在OMP基礎上修改了一下原子選擇的個數，效果就好很多。
