對於一組向量，有時候我們需要對其進行正交化處理，也就是說，該組向量中任意兩個向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？
假設只有兩個向量，\(\vec v_0\)和\(\vec v_1\)，正交化的幾何示意圖如下所示。
假設正交化之后的向量為\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)，那么由圖可知，可得\(\vec w_0 = \vec v_0\)，且有：
\(\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}\)
這里減去的部分是向量\(\vec v_1\)在向量\(\vec w_0\)上的投影。然后將\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)進行歸一化，就得到了最終的結果。
那么，如果有三個向量，\(\vec v_0\)，\(\vec v_1\)，\(\vec v_2\)，這種情況要如何處理呢？同樣地，正交化的幾何示意圖如下所示。
假設正交化之后的向量為\(\vec w_0\)，\(\vec w_1\)，\(\vec w_2\)，由圖可知，可得\(\vec w_0 = \vec v_0\)，且有：
\(\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}\)
\(\vec w_2 = \vec v_2 - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|} - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_1}{|\vec w_1|}\)
從圖中可以看出向量\(\vec w_2\)即為向量\(\vec v_2\)減去在\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)上的投影。將這三個向量進行歸一化即可得到最終的結果。
那么，假如我們有一組向量\(\{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \}\)，要想求得它們正交化后的向量組\(\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}\)，步驟如下：
- 令\(\vec w_0 = \vec v_0\)；
- 計算\(\vec w_i = \vec v_i - \sum_{j = 0}^{i - 1} \dfrac{\vec v_i \cdot \vec w_j}{|\vec w_j |};1 \leq i \leq n\)；
- 將得到的\(\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}\)進行正交化。