1、標准正交矩陣
假設矩陣Q有列向量q1,q2,...,qn表示，且其列向量滿足下式：
則
若Q為方陣，由上面的式子則有
我們舉例說明上述概念：
2、標准正交矩陣的好處
上面我們介紹了標准正交矩陣，那么標准正交矩陣的用處在哪？ 下面以兩方面來說明標准正交矩陣的用處：
求解Ax=b
在前面文章 《正交投影、格拉姆施密特正交(一）》中，有下式：
當矩陣A為標准正交矩陣Q時，由於正交矩陣與其轉置的乘積為單位矩陣，則上式可以轉化為：
可以發現，求x時不需要矩陣Q的逆，只需要知道轉置即可，這樣簡化了計算。
求解投影矩陣
在前面文章 《正交投影、格拉姆施密特正交(一）》中，
投影矩陣的通式可以表示為：
當矩陣A為標准正交矩陣Q時，由於正交矩陣與其轉置的乘積為單位矩陣，則上式可以轉化為：
這樣就將投影矩陣簡單化了。
3、Gram-Schmidt正交化
任何復雜問題的求解都可以從簡單的問題出發。聰明的數學家不會羞於考慮小問題，因為當最簡單的情況弄得明明白白時，一般的形式就容易理解了。並且，簡單的情況不僅幫我們發現一般的公式，而且還提供了一種便利的核查方法，看看我們是否犯下了愚蠢的錯誤。下面我們就從簡單的二維情況討論：
### 二維情況
假設原來的矩陣為[a,b]，a,b為線性無關的二維向量，下面我們通過Gram-Schmidt正交化使得矩陣A為標准正交矩陣：
假設正交化后的矩陣為Q=[A,B],我們可以令A=a，那么我們的目的根據AB=I來求B。如下面的二維情況所示，B的方向與A成90度。圖中還表明，B可以表示為b向量與b向量在a上的投影的誤差向量。由《正交投影》中的結論可知，有如下關系成立：
### 三維情況
假設原來的矩陣為[a,b,c]，a,b,c為線性無關的二維向量，正交化后的矩陣為Q=[A,B,C],我們可以令A=a，則可以根據二維情況得到如下猜想：
上式顯然滿足AB=0,AC=0,BC=0。
下面我們用實例說明正交化的過程：
假設矩陣為[a,b]
則由二維情況的結論可知：
把具體數值代入得：
經過歸一化得：
Q即是我們經過正交化后的正交矩陣。