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首先是格拉姆-施密特正交化
標准正交矩陣Q有如下的特性
根據這篇文章投影矩陣的通式為
當A為正交矩陣Q時，上式可以轉化為
這樣就簡化了投影矩陣P，所以這就是正交化的好處。
我們在這篇文章研究投影矩陣的時候得到如下關系
如果有一個矩陣q=[a,b,c]，正交化之后變為Q=[A,B,C]，令A=a，而正交矩陣中A和B是垂直的，根據這個圖
B其實就是b-p得來的，p就是b在A上的投影 [公式] ，所以 [公式] ，然后在三維坐標系中，C就是c減去c在A和B上的投影，所以 [公式] ，再用向量除以模長來歸一化，就得到了正交化后的正交矩陣Q。
然后引出QR分解法
Q和原來的矩陣A有如下關系：
R是上三角矩陣，所以有了正交三角分解法或者QR分解法。