分解合集（LU分解/譜分解(特征分解)/cholesky分解/QR分解/奇異值分解

LU分解

將一個矩陣分解為一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積

 利用高斯消去法將矩陣化為上三角形矩陣U，消去過程中左乘初等矩陣

 選主元的LU分解

對於A = LU，我們之前限制了行的互換，選主元的LU分解，只需要把A = LU變成 PA = LU就可以了，其中P是置換矩陣。實際上所有的A = LU都可以寫成PA = LU的形式，當A沒有行互換時，P就是單位矩陣。

譜分解

A的特征向量q1,q2，Q=[q1 q2]

對角線為特征值其余元素為0 的矩陣B

A=QBQ^T

Cholesky 分解

QR分解 

一個矩陣的QR分解是將矩陣分解成A=QR，其中Q是一個正交矩陣（QTQ=I），R是上三角矩陣。

1）基於施密特正交化的QR分解

  具體推導過程可以看我的另一篇博客：https://www.cnblogs.com/wwqdata/p/12889765.html

2）基於householder變換的QR分解

3）基於givens變換的QR分解

 具體分解步驟可參考:https://ccjou.wordpress.com/2010/02/18/givens-%E6%97%8B%E8%BD%89%E6%96%BC-qr-%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%9A%84%E6%87%89%E7%94%A8/

總結一下就是對A分解，先攻A(2,1)元，以A11和A21來確定c 和s，以此確定Q21

然后攻Q21A的(3,1)元，以Q21A的11元和Q21A的31元來確定c 和s，以此確定Q31

最后攻Q31Q21A的(3,2)元

R=Q32Q31Q21A

Q=(Q21)^T(Q31)^T(Q32)^T

SVD分解

見我的另一個博客https://www.cnblogs.com/wwqdata/p/12893876.html