主要內容：
- OMP在稀疏分解與壓縮感知中的異同
- 壓縮感知通過OMP重構信號的唯一性
一、OMP在稀疏分解與壓縮感知中的異同
1、稀疏分解要解決的問題是在冗余字典(超完備字典)A中選出k列，用這k列的線性組合近似表達待稀疏分解信號y，可以用表示為y=Aθ，求θ。
2、壓縮感知重構要解決的問題是事先存在一個θ和矩陣A，然后得到y=Aθ（壓縮觀測），現在是在已知y和A的情況下要重構θ。
A為M×N矩陣（M<<N，稀疏分解中為冗余字典，壓縮感知中為傳感矩陣A=ΦΨ，即測量矩陣Φ乘以稀疏矩陣Ψ），
y為M×1的列向量（稀疏分解中為待稀疏分解信號，壓縮感知中為觀測向量），
θ為N×1的列向量（稀疏分解中為待求分解系數，壓縮感知中為信號x的在變換域Ψ的系數，x=Ψθ）。
相同點：
- 對已知y和A的情況下，求y=Aθ中的θ。
- 稀疏分解中θ是稀疏的，在壓縮感知中信號也需要滿足稀疏性的條件，這也是相同點之一。（OMP一開始在應用在稀疏表示上，后來壓縮感知恰好信號也滿足稀疏性條件，因此OMP也適用於壓縮感知問題）
不同點：
在稀疏分解中θ是事先不存在的，我們要去求一個θ用Aθ近似表示y，求出的θ並不能說對與錯；在壓縮感知中，θ是事先存在的，只是現在不知道，我們要通過某種方法如OMP去把θ求出來，求出的θ應該等於原先的θ的，然后可求原信號x=Ψθ。
壓縮感知中的A需要滿足一定的條件來保證重建的可行性與唯一性。（如RIP、spark等）
二、壓縮感知通過OMP重構信號的唯一性
問題：
通過OMP等重構算法求出的θ就是原來的x=Ψθ中的那個θ嗎？為什么通過OMP迭代后一定會選出矩陣A的那幾列呢？會不會選擇A的另外幾列，它們的線性組合也滿足y=Aθ？
證明：
思路與證明spark常數一致。淺談壓縮感知（十五）：感知矩陣之spark常數
壓縮感知的前提條件：若要恢復y=Aθ中k稀疏的θ，要求感知矩陣A（感知矩陣A=ΦΨ，即測量矩陣Φ乘以稀疏矩陣Ψ）至少任意2k列線性相關。這是壓縮感知中A必須滿足的一個條件。
假設通過OMP迭代后，存在兩種不同的線性組合滿足y=Aθ
即Atθt=Arθr，這意味着Aθk1= Aθk2，即A (θk1－θk2)=0。此處的θ大小與y一致，但只有與選中對應列的位置處不為0.
兩個k稀疏的N維信號（長度為N的列向量）θk1和θk2，它們的差向量(θk1－θk2)的稀疏度最大不超過2k，（當θk1和θk2中的非零項都沒有對應在同一位置時）。
而A必須滿足至少任意2K列線性相關，因此A的零空間維度必須至少為2K，而(θk1－θk2)的稀疏度最大不超過2k，因此A (θk1－θk2)=0並不成立，即原假設不成立。
所以在感知矩陣A滿足至少任意2k列線性相關的前提下（即spark常數），通過OMP算法恢復出的θ是唯一的。