在壓縮感知中，總是看到"矩陣滿足RIP"之類的字眼，沒錯，這是一個壓縮感知繞不開的術語，有限等距性質（Restricted Isometry Property, RIP）。
注意：RIP性質針對的同樣是感知矩陣而非測量矩陣。
0、相關概念與符號
1、RIP定義
中文版：
英文版：
概括：
（RIP）矩陣滿足2K階RIP保證了能夠把任意一個K稀疏信號θK映射為唯一的y，也就是說要想通過壓縮觀測y恢復K稀疏信號θK，必須保證傳感矩陣滿足2K階RIP，滿足2K階RIP的矩陣任意2K列線性無關。
邊界解釋：
上述定義中不等式邊界關於1對稱，其實這只是表示的方便而已，實際中可以考慮任意邊界值。
2、RIP理解
理解1：能量說
向量的2范數的平方就是信號的能量，換成常見的公式：
RIP不等式：
這里的
實際上是
，即輸出信號的能量， 
即輸入信號的能量（稀疏變換x=Ψθ為正交變換，而正交變換保持能量不變，即信號理論中的Parseval定理）。
解釋1：
解釋2：
RIP其實可以看成刻畫一個矩陣和標准正交陣的相似程度。其對於向量做變換后的 L2 能量（范數平方）相較於原向量的能量的變化不超過RIP。RIP對於Stability 的分析非常有效。RIP 是由Candes 和Tao 提出來的，可以看他們的提出這個概念的文章: Decoding by LinearProgramming。
其實取極限當δ=0時（RIP要求0<δ<1），RIP的不等式實際上表示的是觀測所得向量y的能量等於信號x的能量，在線性代數中所講的正交變換也具有這種性質，也稱為等距變換（把信號將為二維或三維時2范數的平方可形象的理解為到原點的距離），當然這里的變換因為傳感矩陣A不可能是正交矩陣（不是方陣），但當極限δ=0時也能保持能量相等（也可以稱為等距吧），而RIP要求0<δ<1，所以不可能等距，所以就稱為有限等距性質吧。
理解2：唯一映射說
在前一篇介紹spark常數的時候，已經提到了唯一映射說這一點，可以了解一下：http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5083726.html
RIP性質（有限等距性質）保證了感知矩陣不會把兩個不同的K稀疏信號映射到同一個集合中（保證原空間到稀疏空間的一一映射關系），要求從感知矩陣中抽取的每2K個列向量構成的矩陣是非奇異的。
當δ2s<1時可以保證零范數問題有唯一的稀疏解，而當δ2s<sqrt(2)-1時則可以保證零范數和1范數等價（零范數求解為NP-hard問題，在此前提下將其轉化為1范數求最優化問題，這時是個凸優化問題）
3、RIP補充
上面我們談到的都是感知矩陣
，而實際中我們常常使用的是測量矩陣
，那么怎么樣才能讓測量矩陣滿足RIP要求呢？
前面解釋中的能量說提到"RIP其實可以看成刻畫一個矩陣和標准正交陣的相似程度"，如
。
那么對於測量矩陣而言，需要滿足的性質就是盡量保證其基向量與稀疏表示的基不相關，這個對於RIP來說比較通俗的理解，在實際中，有些矩陣如高斯隨機矩陣、二值隨機矩陣、局部傅里葉矩陣、局部哈達瑪矩陣等都能夠以很大的概率滿足RIP。
關於矩陣中任意2K列都不相關的解釋：
如果矩陣有2K列線性相關，則對於某一個2K稀疏的信號必然會有Aθ2K=0，又因為一個2K稀疏的信號可以寫成兩個K稀疏的信號相減（把2K稀疏信號的2K個非零項分成兩部分，每部分分別包含K個非零項，其余部分填零長度與原2K稀疏信號保持不變，即得到了兩個K稀疏信號，其中的一個K稀疏信號中的K個非零項乘負一，另一部分減這一部分必然等於2K稀疏信號），因此有A(θK1－θK2)=0，即AθK1=AθK2，也就是說對於兩個不同的K稀疏信號θK1和θK2，壓縮觀測后得到了同一個y，即不能保證唯一映射，所以矩陣不能有2K列線性相關，否則將不能保證唯一映射。