淺談壓縮感知（六）：TVAL3

這一節主要介紹一下壓縮感知中的一種基於全變分正則化的重建算法——TVAL3。

主要內容：

1. TVAL3概要
2. 壓縮感知方法
3. TVAL3算法
4. 快速哈達瑪變換
5. 實驗結果
6. 總結

1、TVAL3概要

全稱：

Total variation Augmented Lagrangian Alternating Direction Algorithm

問題：

壓縮感知、單像素相機

模型：

全變分正則化 Total Variation Regularization

方法：

增強拉格朗日Augmented Lagrangian method

交替方向變換Alternating Direction method

優勢：

1. 速度快，重建質量高
2. 靈活性：支持多種測量矩陣、支持多種約束條件

2、壓縮感知方法

3、TVAL3算法

1、模型：全變分正則化Total Variation Regularization

A: 測量矩陣measurement matrix

U: 信號或圖像Signal or Image

b: 測量值measurements

DiU:圖像的變分或梯度值 gradient of U at pixel i

|.|: 范式1-norm or 2-norm

其中全變分公式即DiU的計算如下：

2、方法：

• 增強拉格朗日Augmented Lagrangian method（將帶約束的模型轉換為不帶約束的目標函數）
• 交替方向變換Alternating Direction method（求解目標函數）

增強拉格朗日Augmented Lagrangian method：

引入松弛變量w，模型變成：

、

目標函數則變成：

交替方向變換Alternating Direction method：

通過引入松弛變量和增強拉格朗日方法，目標轉換為：

采用交替方向變換方法，可以將問題轉為兩個子問題來求解，即求W和求U，通過迭代的方式，先求W，再求U，依次迭代。

W的子問題：

U的子問題：

W子問題的求解：

U子問題的求解：

算法步驟：

3、算法流程

4、快速哈達瑪變換

為了提高算法的運行速度，TVAL3采用了哈達瑪矩陣作為測量矩陣，因為哈達瑪變換有快速變換的優點。

哈達瑪矩陣的特點及形式：

哈達瑪快速變換：

5、實驗結果

6、總結