主要內容：
- 信號的稀疏表示
- 編碼測量（采樣過程）
-
恢復算法（非線性）
一、信號與圖像的稀疏表示
在DSP（數字信號處理）中，有個很重要的概念：變換域（某個線性空間：一組基函數支撐起來的空間）
一般而言，我們的信號都是在時域或空域中來表示，其實我們可以在其他變換域中通過某些正交基函數的線性組合來表示信號。如：sinusoids, wavelets, curvelets, Gabor functions,. . .
對於某個變換域或空間，其基函數是確定的，只要得到系數α的這一組值，即可通過該系數向量來表示信號。
那么系數α該怎么求呢？
說了這么多，為什么要通過變換域的系數來表示信號呢？
很明顯，系數向量α的大小遠小於原始信號，這一個壓縮和降維的過程（稀疏性），有利於存儲、傳輸和處理。
下面以圖片為例，介紹傳統的圖像表示方法DCT和現代的圖像表示方法小波變換：
Classical Image Representation: DCT
Discrete Cosine Transform (DCT)
Basically a real-valued Fourier transform (sinusoids)
如上圖所示，左邊為原始圖像，右邊為DCT變換后的圖像。
該圖像表示二維的頻率幅值系數，可以看出，右下角的大部分系數接近於0。也就是說圖像的大部分能量都集中在左上角的低頻部分（稀疏性），
因此我們只要保留左上角的信息（壓縮），就可以很好地重建出左邊的圖像。（有損）
這也就是JEPG圖像壓縮標准的基礎：DCT變換。
DCT重建（反變換）的圖像特點：平滑區域表現很好，邊緣可能會模糊或出現振鈴（因為某些高頻信號丟失）
Modern Image Representation: 2D Wavelets
有關小波變換的知識，這里就不詳述，可以參考：http://www.zhihu.com/topic/19621077/top-answers
如上圖所示，左邊為原始圖像，中間為尺度圖像，右邊為小波變換后的系數結構
系數框架：大系數很少，小系數很多（稀疏性）
這也是JPEG2000壓縮標准的基礎：小波變換。
小波變換重建（反變換）的圖像特點：平滑區域表現很好，邊緣更加尖銳（在邊緣處理上，比DCT好）
小波變換的圖像重建：
小波系數的分布：
小波變換的重建：
這一部分主要介紹了變換域，以及信號在變換域的稀疏表示，並以圖像的DCT和小波變換為例，來闡述信號在變換域的稀疏性。
稀疏性的作用總結：
- 壓縮
- 去噪
- 降維
二、編碼測量
跟傳統采集不同，壓縮感知采集的不是像素點，而是一組線性組合的測量值。
下面的公式表示每一個測量值yi的計算過程，f表示信號，Φ表示測量矩陣，兩者的內積之和即為yi。
經過M次測量之后，即得到所需要的M個測量數據Y。
問題是測量矩陣應該怎么選擇呢？
為了能夠重構信號，測量矩陣的選擇尤其重要，矩陣需要滿足與信號的稀疏表示基Ψ不相關。（RIP性質，具體不詳述）
實驗證明：高斯隨機矩陣、一致球矩陣、二值隨機矩陣、局部傅立葉矩陣、局部哈達瑪矩陣以及托普利茲矩陣等能在很大概率上滿足上述條件。
測量公式如下：
三、稀疏重建算法
假設信號是K-sparse，測量矩陣是高斯隨機矩陣，現在通過采集獲得了M個測量值，我們如何恢復出我們的信號呢？
測量過程：
重建過程：（數學建模：L1 Minimization，當然還有其他方法，后續再敘述）
需要多少個測量值才能夠有效地恢復出信號呢？一個、兩個很明顯是不行的，N個顯然就沒有了壓縮的意義，那么至少多少才合適呢？
下面的公式給出了一個估計值：
變換域重建：
舉例：
