無線感知理論基礎筆記（三）——無線信道：多徑信道模型

多徑效應

由多徑效應帶來的信號的衰落在時間尺度上是和信號的周期同一個數量級，在距離尺度上和信號波長為同一數量級，信號的波長尺度相對於人移動的距離來說是很小的，所以多徑效應是快衰落，也叫小尺度衰落；與之對應的，陰影效應和路徑損耗是慢衰落，也叫大尺度衰落。

該信號的多個副本經過不同傳播路徑后在接收端疊加，疊加后信號可以表示為：

\[r(t)=\operatorname{Re}\left\{\sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_{n}(t) u\left(t-\tau_{n}(t)\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(2 \pi f_{c}\left(t-\tau_{n}(t)\right)+\phi_{D_{n}}(t)\right)}\right\} \]

1. \(a_n(t)\)是不同路徑信號幅度時變衰減，由路徑損耗和陰影衰落確定；
2. \(τ_n(t)\)是不同路徑的信號路徑傳輸時延\(τ_n(t)=r_n(t)/c\);
3. \(ϕ_{D_n}(t)\)是不同路徑的多譜勒相移。

相比於原始信號，第i路多徑信號的相位變化量為：

\[\phi_{n}(t)=2 \pi f_{c} \tau_{n}(t)-\phi_{D_{n}}(t) \]

將\(ϕ_n(t)\)代入r(t)的表達式，有

\[r(t)=\operatorname{Re}\left\{\left[\sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_{n}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_{n}(t)} u\left(t-\tau_{n}(t)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f_{c} t}\right\} \]

上式可以轉換成輸入信號和信道響應相互卷積的形式：

\[\begin{aligned} r(t) &=\operatorname{Re}\left\{\left[\sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_{n}(t) \mathrm{e}^{-j \phi_{n}(t)} u\left(t-\tau_{n}(t)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f_{c} t}\right\} \\ &=\operatorname{Re}\left\{\left[\sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_{n}(t) \mathrm{e}^{-j \phi_{n}(t)}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\tau-\tau_{n}(t)\right) u(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right)\right] \mathrm{e}^{j 2 \pi f_{c} t}\right\} \\ &=\operatorname{Re}\left\{\left[\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_{n}(t) \mathrm{e}^{-j \phi_{n}(t)} \delta\left(\tau-\tau_{n}(t)\right) u(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f_{c} t}\right\} \\ &=\operatorname{Re}\left\{\left[\int_{-\infty}^{\infty} c(\tau, t) u(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f_{c}(t)}\right\} \end{aligned} \]

直觀地來理解一下上面的卷積形式的接收信號：對於任意的發射時刻(t−τ)都有可能對tt時刻的接收信號產生貢獻。但是究竟是哪幾個時刻發射信號會產生貢獻和產生什么樣的貢獻呢？c(τ,t)回答了這個問題，通過與c(τ,t)卷積，確定了發射時刻和接受時刻的時間差等於路徑傳輸時延的信號，並賦予了幅度衰減和相位變化。c(τ,t)表示t−τ時刻發出的信號，在時刻t收到，此時信號對應的信道系數。

c(τ,t)體現了時變信道的兩個特點：

1. 通信時間不同（t不同），對應信道狀態不同；
2. 傳播延時不同（τ不同），對應信道狀態不同。

在最簡化的情況下，信道響應c(τ,t)不隨時間發生變化，這樣一來信道響應就只與多徑時延有關，即

\[c(\tau)=\sum_{n=0}^{N} \alpha_{n} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_{n}} \delta\left(\tau-\tau_{n}\right) \]

多徑衰落模型

根據多徑時延擴展不同，可以將多徑衰落模型分為窄帶衰落和寬帶衰落。我們用一個示意圖形象地展示窄帶衰落和寬帶衰落的差異，下圖中，右上角是窄帶衰落，右下角是寬帶衰落。

1. 窄帶衰落：對於時延擴展遠遠小於發射信號帶寬倒數（\(T_m\)遠小於\(\frac 1B\)）的信道引起的衰落叫做窄帶衰落。簡單理解，由於基帶的帶寬和碼元的周期有着千絲萬縷的關系（通常碼元周期是基帶帶寬倒數的整數倍），可以認為窄帶衰落發生時，信號的時延擴展遠遠小於一個碼元周期。在這種情況下，從不同路徑到達的信號可以認為只有相位和振幅的差異，而調制內容包括頻率完全相同，即\(u(t−τ_i)≈u(t)\)。對於窄帶衰落，接收信號可以表示為：

\[r(t)=\operatorname{Re}\left\{u(t) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f_{c} t}\left(\sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_{n}(t) \mathrm{e}^{-j \phi_{n}(t)}\right)\right\} \]

上式中，\(α_n\)和路徑損耗和陰影效應有關，是一個隨機變量，相位\(ϕ_n\)受多譜勒、時延、初相影響，也可以看作一個隨機量。假設多徑數量N(t)足夠大，則根據大數定理，系數\(\sum^{N(t)}_{n=0}α_n(t)e^{−jϕ_n(t)}\)可以看作是一個隨機過程（前提是直視路徑不存在，否則\(α_n\)隨機的假設不成立）。如下圖所示，窄帶衰落的最終結果，為多徑疊加后在時域上服從零均值高斯分布，即與噪聲效果類似，當然這里的前提是多徑數量足夠多或多徑系數\(α_n\)服從瑞利分布。

接收端多徑疊加信號可表示為:

\[r(t)=\Re\left\{\left[\sum_{n=0}^{N} \alpha_{n}(t) e^{-j \phi_{n}(t)}\right] e^{j 2 \pi f_{c} t}\right\} \]

由歐拉公式\(e^{j \phi}=\cos (\phi)+j \sin (\phi)\)得：

\[\begin{aligned} r(t) &=\Re\left\{\left[\sum_{n=0}^{N} \alpha_{n}(t)\left[\cos \left(\phi_{n}(t)\right)-j \sin \left(\phi_{n}(t)\right)\right]\right] \times\left[\cos \left(2 \pi f_{c} t\right)+j \sin \left(2 \pi f_{c} t\right)\right]\right\} \\ &=r_{I}(t) \cos \left(2 \pi f_{c} t\right)+r_{Q}(t) \sin \left(2 \pi f_{c} t\right) \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} r_{I}(t) &=\sum_{n=1}^{N(t)} \alpha_{n} \times \cos \left(\phi_{n}(t)\right) \\ r_{Q}(t) &=\sum_{n=1}^{N(t)} \alpha_{n} \times \sin \left(\phi_{n}(t)\right) \end{aligned} \]

這里的\(\Phi\)與t有關，是考慮了多普勒效應。上式中的 \(r_{I}(t)\) 和 \(r_{Q}(t)\) 分別表示多徑疊加系數（指不同 多徑相位和振幅的疊加）的In Phase和Quadrature Phase成分。當N趨向於無窮大，根據中心極限定理，\(r_I(t)\)和\(r_Q(t)\)分別服從零均值高斯分布（實際上N較小時，只要α(t)服從瑞利分布，上述結論仍然成立）。也就是說，多徑疊加的結果，在時域上服從零均值高斯分布，即與噪聲效果類似，當然這里的前提是多徑數量足夠多或多徑系數α服從瑞利分布。

2. 寬帶衰落：當\(T_m\)遠小於\(\frac1B\)這個條件不成立的時候，發射信號會在接收端產生很寬的時延擴展，這樣會導致前一時刻的碼元的時延擴展侵占后面碼元的時間，從而對其他時刻的碼元產生干擾，即碼間串擾。消除碼間串擾的辦法有很多，例如OFDM中的循環前綴。

多徑測量

由於多徑效應的存在，同一信號的不同副本在以不同延遲和衰減在接收端混疊。為了准確地提取混疊信號中各信號副本的信息，直觀上看，我們可以令發送端傳輸一特定格式的信號s(t)，然后在接收端使用s(t)與收到的多徑混疊信號r(t)計算相關性。通過設計s(t)的格式，可以使s(t)只在與多徑信號副本完全對齊時產生相關性波峰（調頻線性波即為滿足此要求的一種常用信號）。最后，通過提取s(t)與r(t)的相關性波峰，即可分離並測量各多徑信號分量。

上述多徑測量方法奏效的前提，是將收到信號r(t)與原始信號s(t)計算相關性后，可以准確地分離各相關性波峰。理想情況下，如果對s(t)的信號長度不做限制，則當s(t)與r(t)中信號副本完全對齊時可產生一無限窄的相關性波峰，r(t)中任意兩個信號副本的相關性波峰互不影響。但實際上，由於s(t)的持續時間並非無限長，通過相關性計算后得到的是具有一定寬度的波峰，由此r(t)中時間接近的信號副本產生的相關性波峰可能互相重疊，甚至無法區分。

為了解決這一問題，SIGCOMM’16的工作R2F2提出通過測量接收信號中不同多徑副本的到達角來區分不同多徑信號。如下圖所示，信號經過不同傳播路徑到達接收端通常產生不同的入射角。

R2F2提出使用多天線接收端，通過分析不同天線接收信號的差異，准確提取多徑信號分量的到達角。R2F2的優勢在於，盡管不同多徑信號的到達時間差異非常微小，但他們的到達角可能存在明顯差別，由此相比於直接對接收信號計算相關分離多徑，R2F2可以更好地提取不同多徑信號之間的差異。但R2F2在實現過程中仍然面臨許多挑戰，其中最核心的挑戰在於如何在接收端有限的天線數量下，盡可能精確地分離不同多徑信號的到達角。R2F2提出了一種基於最優化波峰擬合的方法，迭代地優化各波峰參數，從而盡可能精確地恢復不同到達角方向上的波峰。