無線感知理論基礎筆記（二）——無線信道：路徑損耗與陰影衰落

路徑損耗模型

路徑損耗，或稱傳播損耗，指電波在空間傳播所產生的損耗，是由發射功率的輻射擴散及信道的傳播特性造成的，反映宏觀范圍內接收信號功率均值的變化。如下圖所示，在自由空間中，電磁輻射的強度根據平方反比定律隨着距離的增加而減小，因為同樣的能量在一個面積上與距離源的距離平方成正比。

假設信號經過自由空間到達距離dd處的接收機，發射機和接收機之間沒有任何障礙物，信號沿直線傳播。這樣的信道稱為視距(Line-Of-Sight, LOS)信道，相應的接收信號稱為LOS信號。自由空間路徑損耗使接收信號相對於發送信號引入了一個復數因子, 產生接收信號：

\[r(t)=\operatorname{Re}\left\{\frac{\lambda \sqrt{G_{l}} e^{-j 2 \pi d / \lambda}}{4 \pi d} \cdot u(t) e^{j 2 \pi f_{c} t}\right\} \]

式中\(\sqrt{G_l}\)是在視距方向上發射天線和接收天線的增益之積，\(e^{−j2πd/λ}\)是由傳播距離d引起相移。設發射信號s(t)的功率為\(P_t\)，由接收信號r(t)的表達式可得到接收功率和發射功率的比為

\[\frac{P_{r}}{P_{t}}=\left(\frac{\sqrt{G_{l}} \lambda}{4 \pi d}\right)^{2} \]

可見接收功率與收發天線間距離d的平方成反比、與信號波長的平方\(λ^2\)成正比。因此，載波頻率越高、信號波長越短，則接收功率越小。接收功率與波長λ有關是因為接收天線的有效面積和波長有關。

對應的路徑損耗可以表示為：

\[P_{L} \mathrm{~dB}=10 \log _{10} \frac{P_{t}}{P_{r}}=-10 \log _{10} \frac{G_{l} \lambda^{2}}{(4 \pi d)^{2}} \]

自由空間傳播時，將接收功率表示為dBm的形式：

\[P_{r} \mathrm{dBm}=P_{t} \mathrm{dBm}+10 \log _{10}\left(G_{l}\right)+20 \log _{10}(\lambda)-20 \log _{10}(4 \pi)-20 \log _{10}(d) \]

相應的自由空間路徑增(free-space path gain)為：

\[P_{G}=-P_{L}=10 \log _{10} \frac{G_{l} \lambda^{2}}{(4 \pi d)^{2}} \]

陰影衰落

陰影衰落由發射機和接收機之間的障礙物造成，這些障礙物通過吸收、反射、散射和繞射等方式衰減信號功率，嚴重時會阻斷信號，引起障礙物尺度距離（室外為10m~100m，室內更小）上的功率變化。在移動通信傳播環境中，電波在傳播路徑上遇到起伏的山丘、建築物、樹林等障礙物阻擋，形成電波的陰影區，就會造成信號場強中值的緩慢變化，引起衰落。通常把這種現象稱為陰影效應，由此引起的衰落又稱為陰影慢衰落。另外，由於氣象條件的變化，電波折射系數隨時間的平緩變化，使得同一地點接收到的信號場強中值也隨時間緩慢地變化。但因為在陸地移動通信中隨着時間的慢變化遠小於隨地形的慢變化，因而常常在工程設計中忽略了隨時間的慢變化，而僅考慮隨地形的慢變化。它是由於在電波傳輸路徑上受到建築物或山丘等的阻擋所產生的陰影效應而產生的損耗。它反映了中等范圍內數百波長量級接收電平的均值變化而產生的損耗，一般遵從對數正態分布。

陰影衰落造成信號在無線信道傳播過程中發生隨機變化，傳播路徑上的反射面和反射體也在隨機變化，從而導致給定距距離處接收信號的功率的存在隨機性。為了准確地描述信道對信號的影響，我們需要建立一個模型來描述這些因素造成的信號隨機衰減。

造成信號隨機衰減的因素，一般包括障礙物的位置、障礙物大小、障礙物材料的介電特性、以及反射面和散射體的變化情況。在實際傳輸場景中，這些因素一般都是未知的，因此只能用統計模型來表征這種隨機衰減，最常用的模型是對數正態陰影模型，它已經被實測數據證實，可以用來建模室外和室內無線傳播環境中接收功率的變化。

對數正態陰影模型把發射和接收功率的比值\(ψ=P_t/P_r\)，假設為一個對數正態分布的隨機變量，即

\[p(\psi)=\frac{\xi}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{\psi_{\mathrm{dB}}} \psi} \exp \left[-\frac{\left(10 \log _{10} \psi-\mu_{\psi_{\mathrm{dB}}}\right)^{2}}{2 \sigma_{\psi_{\mathrm{dB}}}^{2}}\right], \quad \psi>0 \]

其中ξ=10/ln10，\(μ_{ψ_{dB}}\)是以dB為單位的\(ψ_{dB}=10log_{10}ψ\)的均值，\(σ_{ψ_{dB}}\)是以dB為單位的\(ψ_{dB}\)的標准差。上述式子中的均值可以用解析模型或者實測值確定。實測時，由干經驗路徑損耗的測量已經包括了對陰影衰落的平均，所以\(μ_{ψ_{dB}}\)等於路徑損耗。對於解析模型，\(μ_{ψ_{dB}}\)必須結合考慮障礙物造成的平均衰減和路徑損耗（例如從自由空間模型中獲得的路徑損耗）。也可以把路徑損耗從陰影衰落中分離出來單獨處理。服從對數正態分布的隨機變量稱為對數正態隨機變量(log-normal random variable）。如果ψ為對數正態分布，那么接收功率和接收信噪比也是對數正態分布的，因為這兩個量只是ψ乘上了一個常系數。對數正態分布的接收信噪比的均值和標准差的單位也是dB,而對數正態接收功率有功率量綱，其均值和標准差的單位是dBm或dBW，而不是dB。路徑損耗真值ψ的平均值從而可以表示為：

\[\mu_{\psi}=\mathbf{E}[\psi]=\exp \left[\frac{\mu_{\psi_{\mathrm{dB}}}}{\xi}+\frac{\sigma_{\psi_{\mathrm{dB}}}^{2}}{2 \xi^{2}}\right] \]

這里用到了對數正態分布的知識：

實際中常常是對測量值的分貝值取平均，來確定平均路徑損耗和方差。原因包括以下幾點：首先，對數正態模型的數學分析是建立在分貝測量值之上的；其次，有文獻表明分貝平均可以使估計誤差更小；其三，功率隨距離下降的模型一般是對分貝功率測量值和對數距離的關系進行折線近近似。

大量室外信道測量表明，標准差\(σ_{ψ_{dB}}\)的范圍在4dB~13dB之間，平均值\(μ_{ψ_{dB}}\)取決於路徑損耗和所在區域內的建築物屬性。\(μ_{ψ_{dB}}\)隨距離變化，一是由於路徑損耗隨距離變化，二是因為距離增加時障礙物的數量會增加，造成平均衰減增加。

當陰影衰落主要由阻擋衰減決定時，分貝平均接收功率的高斯模型可以用下面的哀減模型來分析。信號穿過寬度為d的物休時，其衰減近似為：

\[s(d)=e^{-\alpha d t} \]

式子中α是依賴於障礙物材料和介電性質的衰減常數。若第ii個障礙物的衰減常數是\(α_i\)、障礙物寬度為隨機值\(d_i\)，那么信號穿過該區域時的衰減為：

\[s\left(d_{t}\right)=e^{-\alpha \sum_{i} d_{i}}=e^{-\alpha d_{t}} \]

如果發射機和接收機之間有多個障礙物物， 那么由中心極限定理，\(d_t=\sum_id_i\)可近似為高斯隨機變量，即\(log_s(d_t)=αd_t\)是一個均值為μ，方差為σ的高斯隨機變量（σ的值由傳播環境決定）。

信噪比

從前文的介紹中我們能夠看出來，如果我們能夠完美的測量出信道的影響的話，那么我們在接收端能夠完全還原出來發送的信號。但是實際通信過程遠沒有這么美好，首先完美測量出來信道是很難的（大家可以想一下為什么），同時即便是能夠完美測量出來，接收端也還是會收到外界噪聲的影響。如何衡量噪聲的影響，里面有一個很重要的指標是信噪比（Signal-to-noise ratio，SNR or S/N），用於衡量信號強度與噪聲強度的關系，定義為信號功率與噪聲功率之比。

\[S N R=\frac{P_{\text {signal }}}{P_{\text {noise }}}=\frac{A_{\text {signal }}^{2}}{A_{\text {noise }}^{2}} \]

由於信號強度差別通常都會很大，SNR常使用分貝（dB）作為單位。

\[S N R(d B)=10 \log _{10}\left(\frac{P_{\text {signal }}}{P_{\text {noise }}}\right)=20 \log _{10}\left(\frac{A_{\text {signal }}}{A_{\text {noise }}}\right) \]

其中，\(P_{signal}\)為信號功率，\(P_{noise}\)為噪聲功率，\(A_{signal}\)為信號振幅，\(A_{noise}\)為噪聲振幅。

很顯然，SNR越高，信號越強，我們解碼起來就越方便，實驗中我們經常需要計算不同SNR下性能，或者產生不同SNR下的數據，MATLAB提供了awgn函數用於向目標信號按規定的信噪比加入高斯白噪聲，調用示例如下：

fs = 100; % sampling frequency
t = 0:1/fs:1;
x = sin(2*pi*4*t);
% Add white Gaussian noise to signal
% snr = 10dB
y = awgn(x, 10, 'measured');
plot(t, [x, y]);
legend('Original Signal', 'Signal with AWGN');