什么是向量
在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。
如果用Rn表示n個實數的有序集，Rn中的一個向量就是一個n元有序組，Rn = {(x1, x2,……xn) | xi ∈ R}
向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作
。實際上向量有多種記法，可以用元組表示一個向量，如 (x1, x2) 或 < x1, x2>。在線性代數中，n元向量可以用n×1矩陣表示，如：
向量中的每個元素xn，都稱作向量的一個分量。
向量的模
向量的模即向量的長度，如果A是n維向量，則A的模標記為：
單位向量和零向量
單位向量
單位向量是指模等於1的向量。由於是非零向量，單位向量具有確定的方向。單位向量有無數個。
一個非零向量除以它的模，可得所需單位向量。一個單位向量的平面直角坐標系上的坐標表示可以是：(n,k) ，則有n²+k²=1。
平面上有兩點原點O(0, 0)和P(1, 2)，則向量OP = <1 – 0, 2 - 0> = <1, 2>向量OP方向的單位向量可以表示為：
零向量
所有分量都為0的向量是零向量，零向量沒有方向。
向量與直角坐標系
單位向量在平面直角坐標系的表示：
我們將原點稱為標准位置，實際上單位向量的起點可以在任何位置，指向任何方向，只要滿足模為1即可。
如果有一個向量a = (-1, 2)：
上圖中向量的起點是原點，實際上(x1, x2)作為R2中的一個向量，可以是直角坐標系中的任意位置。如果以(-2,2)為起點，則a的終點是[-2,2]T + [-1, 2]T = [-3, 4]T如下圖所示：
這都可以表示(-1,2)，可以說(-1,2)是一族向量，有無限多種表示法，它們的方向相同，模相等。為了簡單起見，通常以原點作為向量的起點。
向量的加法和數乘
加法
向量的加法運算同矩陣的加法，我們需要理解的是矩陣加法在二維直角坐標系中系上的幾何意義。
下面一組圖都是a + b合法的表示：
[0,0]T + a = [-1,2]T, [0,0]T + b = [3,1]T, a + b = [2,3] T
[0,0]T + a = [-1,2]T, [-1,2]T + b = [2,3]T, a + b = [2,3] T
[0,0]T + a = [-1,2]T, [-3,-1]T + b = [0,0]T, a + b = [2,3] T
數乘
一個向量乘以一個標量：
可以看到，向量的乘法其實是對原向量的伸縮；如果乘以正數，方向與原向量相同；乘以負數，方向與原向量相反。
減法
由向量的加法和數乘可知，x – y = x + (-1)×y，相當於先將y調轉，再與x相加。
向量與方程組
方程組 
可以看成
在坐標系中可以直觀地展示該方程組：
c = a + 2b
總結
- 向量，指具有大小和方向的量
- 單位向量是指模等於1的向量，一個單位向量的平面直角坐標系上的坐標表示可以是：(n,k) ，則有n²+k²=1
- 所有分量都為0的向量是零向量，零向量沒有方向
- 向量的加法和數乘運算同矩陣運算，可擴展到任意緯度的向量
- 向量可以直觀地展示線性方程組
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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