引言
一般的課本上都會告訴我們判斷兩個向量是否正交可以通過它們的點積為0判斷，那么到底為什么？
向量
一個向量是有方向和長度的，我們記向量\(\overrightarrow{a}\)的長度為\(\left\|a\right\|\)，也叫向量的長度為模。那么向量的模是怎么計算的：$$
\left|a\right| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}, \ 向量一共n維，x_i是第i個維度的值
\[怎么理解這個長度？比如在三維空間中有一個向量$\overrightarrow{a}= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] $，可以理解為有一個點在三維坐標系上移動，一開始從原點出發往x正方向走1格，再往y正方向走2格，最后往z方向走3格，落腳點就是向量的終點了。自然地，原點與終點之間的直線長度就是向量的長度，而直線長度得到的方式就是向量模得到的方式。 ## 正交 正交是對向量來說的，比如$R^n$中有兩個n維向量$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，它們兩並不共線，而是呈一定的角度，如果夾角為$90^。$，那么說這兩個向量正交。 在這里也給出一般判斷兩個向量是否正交的方式：$a^{\mathrm{T}}b=0$。下面證明為什么這種判別方式是可行的。 ## 證明 $R^n$中有兩個n維向量$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$，它們相加可以得到一個向量$\overrightarrow{a+b}$。將3個向量移動一下，構成一個三角形。如果一個三角形較短的兩邊的平方和等於斜邊的平方，這個三角形稱為直角三角形，就是說兩條較短的邊夾角為90度。 現在我們已經有一個三角形，三角形的三條邊的長度分別為$\left\|a\right\|，\left\|b\right\|，\left\|a+b\right\|$。好吧，我們先假設三個向量圍成的三角形是直角三角形，那么應該有$$\begin{equation} \left\|a\right\|^2 + \left\|b\right\|^2 = \left\|a+b\right\|^2 \end{equation}$$模又可以用矩陣乘法來表示，比如$\left\|a\right\|^2=a^{\mathrm{T}}a$，因此，將(1)中的式子全都有矩陣乘法表示，具體的結果：$$\begin{equation} a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b = {(a+b)}^{\mathrm{T}}(a+b) \end{equation}\]
真是賞心悅目的等式，將右邊的括號去掉，有以下等式：$$
\begin{equation}
a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b = a^{\mathrm{T}}a+a^{\mathrm{T}}b+b^{\mathrm{T}}a+b^{\mathrm{T}}b
\end{equation}$$
左右消去，我們得到$$
\begin{equation}
0 = a^{\mathrm{T}}b+b^{\mathrm{T}}a
\end{equation}$$
又因為\(a^{\mathrm{T}}b=b^{\mathrm{T}}a\)，所以我們最終得到\(a^{\mathrm{T}}b=0\)。我們從兩個3個向量圍成的是直角三角形推出了\(a^{\mathrm{T}}b=0\)這個結論。當然還需要證明充分條件，即\(a^{\mathrm{T}}b=0\)成立時，圍成的三角形為直角三角形。具體的做法就是將\({(a+b)}^{\mathrm{T}}(a+b)\)這個展開，然后利用\(a^{\mathrm{T}}b=0\)這個條件最終得到\(a^{\mathrm{T}}a + b^{\mathrm{T}}b\)，不再贅述。所以兩個向量的點積為0可以推出它們是正交的。
