矩陣論練習17（標准正交基與酉矩陣）

定理

設 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的標准正交基，若

\[[\gamma_1,\cdots,\gamma_n]=[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]U \]

則，\(\gamma_1,\cdots,\gamma_n\) 是標准正交基 \(\Leftrightarrow\) \(U\)是酉矩陣。

酉矩陣定義

\(n\) 階復矩陣 \(A\) 稱為是酉矩陣，若 \(A^HA=I\)。

證明

要證 \(U\) 是酉矩陣，證明 \(U\) 的列是標准正交基即可。
把 \(U\) 寫成 \(U=[u_1,\cdots,u_n]\)，則 \(u_i\) 是 \(\gamma_i\) 在 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 下的坐標。

1. 必要性：由於 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的標准正交基，則根據標准正交基和度量矩陣的性質，有
   \(<\gamma_i,\gamma_j>=<u_i,u_j>=\left\{ \begin{aligned} 1, i=j\\ 0, i\ne j \end{aligned} \right.\)

2. 由上式，可以看出充分性與必要性一樣。

同一個線性空間，正交基組的選擇有很多種，酉矩陣描述了不同正交基組之間的轉換關系。其實酉矩陣的列也可以看作是一組標准正交基。