么正矩陣(酉矩陣)

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一實(或復) 正交矩陣(orthogonal matrix) $Q$ 是一個實(或復) 方陣滿足

$Q^TQ=QQ^T=I$ ，

即 $Q^{-1}=Q^T$ 。寫出 $n\times n$ 階實正交矩陣的行向量(column vector) 表達， $Q=\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\cdots&\mathbf{q}_n \end{bmatrix}$ ，則 $(Q^TQ)_{ij}=\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_j=(I)_{ij}$ ，矩陣乘積 $Q^TQ$ 的 $(i,j)$ 元等於 $\mathbf{q}_i$ 與 $\mathbf{q}_j$ 的內積。因此， $\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_j=\delta_{ij}=0$ 若 $i\neq j$ ， $\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_j=\delta_{ij}=1$ 若 $i=j$ 。換句話說，實正交矩陣 $Q$ 的行向量 $\{\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_n\}$ 是向量空間 $\mathbb{R}^n$ 的一組單范正交基底(orthonormal basis)，單范表示歸一， $\mathbf{q}_i$ 是單位向量，正交意味 $\mathbf{q}_i$ 垂直 $\mathbf{q}_j$ 。不過，復正交矩陣的行向量並非 $\mathbb{C}^n$ 的一個單范正交集，因為兩個復向量 $\mathbf{x}$ 與 $\mathbf{y}$ 的內積定義為 $\mathbf{x}^\ast\mathbf{y}=\overline{\mathbf{x}}^T\mathbf{y}$ (見“ 內積的定義 ”)。如欲將實正交矩陣推廣至復矩陣，將轉置改為共軛轉置。一么正矩陣(酉矩陣，unitary matrix) $U$ 是一個復方陣滿足

$U^\ast U=UU^\ast=I$ ，

即 $U^{-1}=U^\ast$ 。同樣地，設 $U=\begin{bmatrix} \mathbf{u}_1&\cdots&\mathbf{u}_n \end{bmatrix}$ ，則 $(U^\ast U)_{ij}=\mathbf{u}_i^\ast\mathbf{u}_j=(I)_{ij}$ 。么正矩陣的行向量 $\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\}$ 是向量空間 $\mathbb{C}^n$ 的一組單范正交基底。例如，

$U=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1+i}{2}&\displaystyle\frac{1+i}{2}\\[0.8em] \displaystyle\frac{1-i}{2}&\displaystyle\frac{-1+i}{2} \end{bmatrix}$ ，

其中 $i=\sqrt{-1}$ 。因為 $(U^\ast)^\ast=U$ ，若 $U$ 是一么正矩陣，則 $U^\ast$ 也是么正矩陣。所以，么正矩陣 $U$ 的共軛列向量(row vector) 構成 $\mathbb{C}^n$ 的一個單范正交集(事實上， $U$ 的列向量即構成單范正交集，因為 $\overline{U}^\ast\,\overline{U}=\overline{U}\,\overline{U}^\ast=I$ ， $\overline{U}$ 也是么正矩陣)。類似地，實正交矩陣 $Q$ 的列向量構成 $\mathbb{R}^n$ 的一個單范正交集。在一般情況下，么正矩陣與復正交矩陣是不同的，但實么正矩陣與實正交矩陣是相同的。所以，么正矩陣的所有性質皆可套用於實正交矩陣。

么正矩陣出現於許多矩陣分解式，舉兩個例子。第一是矩陣三角化的Schur 定理：任一方陣 $A$ 可分解為 $A=UTU^\ast$ ，其中 $U$ 是一么正矩陣， $T$ 是上三角矩陣(見“ 矩陣三角化的Schur定理 ”)。第二是正規矩陣(normal matrix) 的么正對角化(unitarily diagonalizable)：若 $A$ 為一正規矩陣， $A^\ast A=AA^\ast$ ，則存在一么正矩陣 $U$ 使得 $A=U\Lambda U^\ast$ ，其中 $\Lambda$ 為一對角矩陣(見“ 特殊矩陣(2)：正規矩陣 ”)。事實上，可么正對角化是正規矩陣的一個充要條件。

以下令 $U$ 為一 $n\times n$ 階么正矩陣，所有的性質都是由定義式得來。

性質1 .向量的長度不因么正變換而改變，即每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$ ，

$\Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ 。

性質1說明么正變換是一個保長((length-preserving) 變換。使用定義式，

$\Vert U\mathbf{x}\Vert^2=(U\mathbf{x})^{\ast}(U\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\ast}U^{\ast}U\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\ast}I\mathbf{x}=\mathbf{x}^\ast\mathbf{x}=\Vert\mathbf{x}\Vert^2$ 。

反過來說，若所有向量 $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$ 都滿足 $\Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ ，平方后整理可得 $\mathbf{x}^\ast (U^\ast U-I)\mathbf{x}=0$ ，可知 $(U^\ast U-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，並推得 $U^\ast U-I=0$ 。所以，保長是么正矩陣的一個充要條件。

性質2 .兩向量的內積不因么正變換而改變，即任何 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n$ ，

$(U\mathbf{x})^\ast(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^\ast\mathbf{y}$ 。

性質2說明么正變換具有內積不變性。使用定義式，

$(U\mathbf{x})^{\ast}(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^{\ast}U^{\ast}U\mathbf{y}=\mathbf{x}^{\ast}I\mathbf{y}=\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{y}$ 。

將上式的 $\mathbf{y}$ 替換為 $\mathbf{x}$ ，性質2可推得性質1。所以，內積不變性是么正矩陣的另一個充要條件。

性質3 .么正矩陣的特征值之絕對值為 $1$ 。

假設 $U\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，等號兩邊同時取向量長度。利用性質1，等號左邊為 $\Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ ，但等號右邊為 $\Vert\lambda\mathbf{x}\Vert=\vert\lambda\vert \cdot\Vert\mathbf{x}\Vert$ ，所以 $\vert\lambda\vert=1$ ，換句話說，么正矩陣的特征值可表示為 $\lambda=e^{i\theta}$ 。

性質4 .么正矩陣 $U$ 可么正對角化， $U=VDV^\ast$ ，其中 $V$ 是一么正矩陣， $D=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ 。

么正矩陣 $U$ 滿足 $U^\ast U=UU^\ast$ ，因此屬於正規矩陣家族，本身也可被么正對角化。下面介紹 $U$ 對應相異特征值的特征向量互為正交的一個證明。假設非零向量 $\mathbf{x}$ 與 $\mathbf{y}$ 使得 $U\mathbf{x}=\lambda_1\mathbf{x}$ ， $U\mathbf{y}=\lambda_2\mathbf{y}$ ，且 $\lambda_1\neq\lambda_2$ 。使用性質2，

$\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{y}=(U\mathbf{x})^{\ast}(U\mathbf{y})=(\lambda_1\mathbf{x})^{\ast}(\lambda_2\mathbf{y})=(\overline{\lambda_1}\lambda_2)(\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{y})$ 。

比較等號兩邊，推得 $\overline{\lambda_1}\lambda_2=1$ 或 $\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{y}=0$ 。使用性質三，令 $\lambda_1=e^{i\theta_1}$ ，則 $\overline{\lambda_1}\lambda_1=e^{-i\theta_1}e^{i\theta_1}=1$ 。但已知 $\lambda_1$ 不等於 $\lambda_2$ ，推論 $\overline{\lambda_1}\lambda_2\neq 1$ ，證明 $\mathbf{x}$ 正交於 $\mathbf{y}$ 。

性質5 .么正矩陣 $U$ 的行列式為 $\vert\det U\vert=1$ 。

根據性質3， $U$ 的特征值滿足 $\vert\lambda_i\vert=1$ 。行列式等於特征值之積，故 $\vert\det U\vert=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1$ 。另一個作法計算

$\det(U^\ast U)=(\det \overline{U^T})(\det U)=(\overline{\det U^T})(\det U)=(\overline{\det U})(\det U)=\vert\det U\vert^2$ ，

但 $\det(U^\ast U)=\det I=1$ ，所以 $\vert\det U\vert=1$ 。

對於一實正交矩陣 $Q$ ， $\det Q$ 為實數，由性質5可知 $\det Q=\pm 1$ 。據此，實正交矩陣可以區分為兩類：若 $\det Q=1$ ，則 $Q$ 稱為適當的(proper) 的正交矩陣；若 $\det Q=-1$ ，則 $Q$ 稱為不適當的正交矩陣。令 $R(\theta)$ 是平面上逆時針旋轉角為 $\theta$ 的旋轉矩陣， $F(\phi)$ 是平面上以 $\begin{bmatrix} \cos\phi\\ \sin\phi \end{bmatrix}$ 為鏡射軸指向的鏡射矩陣，公式如下(見“ 幾何變換矩陣的設計 ”)：

$R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \sin\theta&-\cos\theta\\ \cos\theta&\sin\theta \end{array}\!\!\right],~~F(\phi)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]$ 。

因為 $\det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ ，平面旋轉是適當的正交矩陣。另一方面， $\det F(\phi)=-(\cos^2 2\phi+\sin^2 2\phi)=-1$ ，平面鏡射是不適當的正交矩陣(見“ 旋轉與鏡射 ”)。平面旋轉與鏡射是保長變換，提示我們這兩種矩陣是實正交矩陣。

最后補充一個么正矩陣的充分條件：假設 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 的特征值 $\lambda$ 滿足 $\vert\lambda\vert=1$ 。若每一 $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$ 使得 $\Vert A\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert$ ，則 $A$ 是一個么正矩陣(見“ 每周問題July 6, 2015 ”)。注解提供兩個證明：第一個證明使用奇異值分解^[1] ，第二個證明使用矩陣三角化的Schur定理^[2] 。

注解
[1] 令 $A$ 的特征值為 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，奇異值為 $\sigma_1,\ldots,\sigma_n\ge 0$ 。給定的不等式等價於

$\displaystyle \Vert A\Vert_2=\max_{\Vert\mathbf{x}\Vert\neq\mathbf{0}}\frac{\Vert A\mathbf{x}\Vert}{\Vert\mathbf{x}\Vert}=\sigma_{\max}\le 1$ ，

其中 $\sigma_{\max}=\max_{1\le i\le n}\sigma_i$ 。令 $A$ 的奇異值分解為 $A=U\Sigma V^\ast$ ，其中 $\Sigma=\text{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ 且 $U^\ast U=V^\ast V=I$ 。使用恆等式 $\det(A^\ast A)=\vert\det A\vert^2$ ，又 $\det(A^\ast A)=\det(\Sigma^\ast\Sigma)=\sigma_1^2\cdots\sigma_n^2$ 且 $\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$ ，推得 $\sigma_1\cdots\sigma_n=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1$ 。但 $\sigma_{\max}\le 1$ ，可知 $\sigma_1=\cdots=\sigma_n=1$ 。因此， $A=U\Sigma V^\ast=UIV^\ast=UV^\ast$ ，即知 $A^\ast A=VU^\ast UV^\ast=I$ ，證明 $A$ 是一么正矩陣。

[2] 根據Schur 定理，寫出 $A=UTU^\ast$ ，其中 $U$ 是么正矩陣， $T=[t_{ij}]$ 是上三角矩陣，主對角元為 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，每一 $\vert\lambda_i\vert=1$ 。考慮 $\mathbf{x}=U\mathbf{e}_n$ ，其中 $\mathbf{e}_n=(0,\ldots,0,1)^T$ 是第 $n$ 個標准單位向量，則 $\Vert\mathbf{x}\Vert=\Vert U\mathbf{e}_n\Vert=(\mathbf{e}_n^\ast U^\ast U\mathbf{e}_n)^{1/2}=1$ 。我們得到

$\displaystyle \Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert UTU^\ast U\mathbf{e}_n\Vert=\Vert UT\mathbf{e}_n\Vert=\Vert T\mathbf{e}_n\Vert=\left(\vert t_{1n}\vert^2+\cdots+\vert t_{n-1,n}\vert^2+\vert\lambda_n\vert^2\right)^{1/2}$ 。

對於單位向量 $\mathbf{x}$ ，給定條件等價於 $\Vert A\mathbf{x}\Vert\le 1$ ，再有 $\vert\lambda_n\vert=1$ ，使得 $t_{in}=0$ ， $1\le i\le n-1$ 。套用歸納法，重復上述步驟令 $\mathbf{x}=U\mathbf{e}_j$ ， $j=n-1,n-2,\ldots,2$ ，可推論 $T$ 是一個對角矩陣滿足 $T^\ast T=I$ (因為 $\overline{\lambda_i}\lambda_i=\vert\lambda_i\vert^2=1$ )。所以，

$A^\ast A=UT^\ast U^\ast UTU^\ast=UT^\ast TU^\ast=UU^\ast =I$ 。

么正矩陣(酉矩陣)

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