矩陣

第一篇博客祭朱楓苓大佬

用矩陣來祭我的第一篇博客

感謝朱楓苓大佬為本人博客的建設做出的巨大貢獻
再次特別發出大佬博客的地址，表示我對與朱楓苓大佬的敬佩
大佬自己的博客
大佬在博客園的博客

好了，來看看矩陣

1. 加法。只有同型的矩陣才可以相加，對應的位置上面相加就可以了。
2. 數乘。把一個矩陣拿來和一個常數相乘，每一位都乘上來就行了，沒有什么多的了。
3. 倒置。直接行列倒過來就行了。還有一個定理：A*B的倒置等於A的倒置乘以B的倒置

然后就到了重點了

乘法

矩陣乘法A*B 可以做乘法的條件是A的列數要等於B的行數 然后呢乘法就是A的第幾行和B的第幾列對應相乘累加就是答案第幾幾的位置的值了。這個矩陣啊，作用非常的大，配合快速冪，可以加速狀態轉移，實現很多的騷操作。 下面讓我們看看矩陣是如何騷操作斐波那契數列的

題目背景

大家都知道，斐波那契數列是滿足如下性質的一個數列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

•f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 為整數)

題目描述

請你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

設一個有兩個元素的1*2的矩陣 A[n]=[f(n),f(n-1)] 然后這樣的話A[n-1]=[f(n-1),f(n-2)] 那么的設話 A[n-1]*B=A[n] ,易得 B=[1,1 1,0] 則 f(n) 為 A[1][1]*(B 的 n 次方時的第二個元素）

代碼如下：

//Matrix F[n]={f[n],f[n-1]}
//A={1,1
//   1,0}
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll A[2][2];
const ll Mod=1000000007;
void mul(ll *a,ll b[2][2]){
    ll tmp[2];
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
    for(int j=0;j<=1;j++){
        for(int k=0;k<=1;k++){
            (tmp[j]+=(a[k]*b[k][j]))%=Mod;
        }
    }
    memcpy(a,tmp,sizeof(tmp));
}
void mulsel(ll (*f)[2]){
    ll tmp[2][2];
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
    for(int i=0;i<=1;i++){
        for(int j=0;j<=1;j++){
            for(int k=0;k<=1;k++){
                (tmp[i][j]+=(f[i][k]*f[k][j]))%=Mod;
            }
        }
    }
    memcpy(f,tmp,sizeof(tmp));
}
ll pw(ll b){
    ll ans[2]={1,0};
    while(b){
        if(b&1)mul(ans,A);
        mulsel(A);
        b>>=1;
    }
    return ans[1];
} 
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    #endif
    A[0][0]=1;A[0][1]=1;
    A[1][0]=1;A[1][1]=0; 
    ll k;
    cin>>k;
    printf("%lld",pw(k));//快速冪 
    return 0;
}