向量組的線性相關性
題一：
a：是。它們都是線性無關的。含有兩個向量的向量組，若兩個向量的分量對應成比例則線性相關，否則線性無關。
b：否。兩兩線性無關並不能說明總體線性無關。
c：否。有可能某一或某些向量並不是其他向量的線性組合，但整體依然線性相關。
d：是。因為向量個數超過了向量的元素個數（維度）。也就是說它構成的系數矩陣是欠秩的，也必然有自由變量。
向量組線性相關性的定義：
我對線性無關的理解是：找不到這樣一組不全為零（非平凡）的權值，使得向量組中有至少一個向量能被其他向量的線性組合所表示。
反之，只要向量組里有一個向量能被其他向量線性表示，我們就稱這個向量組線性相關。
而且，如果向量組線性相關，必然有無窮多組權使得向量方程有解。
——>齊次方程有無窮多非零解。
如果我們能找到一組值（x1,x2,x3……xn）將這n向量分別進行放縮后，能夠首尾相接，那我們就說它們是線性相關的。
以二維向量組為例，已知，兩個不共線的二維向量可以表示平面所有向量，它們構成的向量集合span（r1，r2）=R^2，那么向量數量超過兩個的二維向量組必然線性相關。
因為剩余的向量都包含在構造的向量集里了。
v1，v2的所有線性組合，等於二維空間的所有向量
線性組合或表示式的代數意義是向量數乘和加法的綜合。它的幾何意義，就是對向量組內的向量長度進行縮放后，依照平行四邊形法則進行合並相加。
兩個向量組等價的幾何意義也很好理解：它們所擴張的直線，平面，空間（所有線性組合的集合）重合。
如何判斷向量組是否線性相關？有以下幾個方法：
1.向量組的向量個數超過向量的元素個數（維數）時，該向量組必然線性相關。
2.研究向量組構成的齊次線性方程組的解的情況，如果有非平凡解，則線性相關，否則線性無關。
非平凡解<——>矩陣的秩小於列數n<——>無窮多解<——>有自由變量<——>線性相關
只有零解<——>矩陣的秩等於列數n<——>有唯一解<——>線性無關
（矩陣的秩的定義為：行或列向量的極大線性無關組，小於等於（行數或列數的最小值）。行秩等於列秩等於秩。
矩陣的秩不可能大於列數，例如兩個三維向量不可能張成三維空間。）
推論——>計算該向量組構成的行列式，如果|A|=0，則線性相關。
對於R^n中的向量x，R^m中的向量T（x） 稱為x在T作用下的像。所有像的集合稱之為值域。
（R^n稱為定義域，R^m稱為余定義域。）
矩陣就是變換。
從R^n到R^m的所有線性變換T，都是矩陣變換x——>Ax。T的值域就是A所有列向量的所有線性組合。
說了半天，什么叫做線性變換？
1）疊加性：和的變換等於變換的和。f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
2）齊次性：比例的變換等於變換的比例。f(kx)=kf(x)
這兩點合起來，就是線性組合:f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)。每個矩陣變換都是線性變換。
我們把這樣的矩陣稱為線性變換T的標准矩陣。
滿射與單射
滿射
如果矩陣的列向量構造的線性組合集=R^m，即R（A）行滿秩時，我們說這個映射是滿射的。
單射（一對一映射翻譯不恰當）
題目二：
解：R（A）=3，說明矩陣的列向量張成R^3,若x為四維向量，則AX=b有解。故（1）對。
方程AX=b有一個自由變量，意味着對於每一個b，有多個X與之對應，所以該映射不是單射。
（R（A）<4，意味着有一個維度在變換中被消解了。我們得到的是投影。）
矩陣與向量的乘法
矩陣與向量相乘
矩陣與向量相乘，就是把向量映射到矩陣A的列向量所張成的空間（集合）里。新向量就是以原向量各個元素為權（坐標）的列向量（坐標基）的線性組合。
我們知道向量是既有大小有有方向的量，它的存在和描述是不依賴於坐標系的，它表示的是兩點之間的位移。（一個點離開坐標系是沒法描述的。）
向量經矩陣轉換后，得到的是它在矩陣的列向量構成的空間中的投影。
