矩陣的坐標變換(轉)

 

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2.3.3 基本二維變換        基本二維變換有比例變換（Scaling）、旋轉變換（Rotating）、錯切變換（Shearing）和平移變換（Translating）。     1）比例變換     比例變換就是將平面上任意一點的橫坐標放大或縮小S11倍，縱坐標放大或縮小S22倍，即     其中S稱為比例變換矩陣。圖2．24是比例變換的幾個例子。圖中（b）是S11=S22的情況，（C）是S11≠S21的情況    

 

2）旋轉變換        旋轉變換就是將平面上任意一點繞原點旋轉θ角，一般規定逆時針方向為正，順時針方向為負。從圖2．25可推出變換公式：     3）錯切變換         在旋轉變換矩陣中，非對角線元素有何幾何意義？觀察圖2．26中的例子。變換矩陣中元素S21起作把圖形沿X方向“錯切”的作用，Y值越小，錯切量越小。S12則有將圖形向Y方向“錯切”的作用，同樣其作用的大小與X值成正比。     4）平移變換         平移交換指的是將平面上任意一點沿X方向移動C。，沿Y方向移動ty（圖2．27），其變換公式為     由上式可見，平移交換不能直接用2X2矩陣來表示。下述齊次坐標變換矩陣則可解決這個問題。

注意:這句話關鍵(疑問點在於為什么二位轉換需要3x3的矩陣)

2.3.4 齊次坐標        如把平面上的點P=[Xy］放到空間去表示為[X Y H]，使得x＝ X/H， y＝Y/H 則稱［X Y H」是點 P的齊次坐標。如規定齊次坐標的第三個分量H必須是 1，則稱為規范齊次坐標。P=[xy」的規范齊次坐標是[x y 1]。顯然，二維空間中描述的點與齊次坐標空間描述的點是一對多的關系。使用齊次坐標之后，平移交換可用矩陣乘法表示如下:

注意:現在可以看到平移的時候x1=x*1+x*0+x*tx,y1=y*0+y*1+y*ty即等於相加的做法,現在所有的轉換都可以使用矩陣乘法了

2.3.5 復合變換     

    實際問題中常遇到的是較為復雜的變換，但這些均可通過一系列的基本變換復合而成。下面舉例說明。    例1 繞任意點C=［Cx Cy］的旋轉變換。圖2.28總的變換可通過三個基本變換復合而成。先進行平移交換，平移量為-Cx和-Cy，然后繞原點旋轉θ角，最后再進行平移量為Cx和Cy的平移變換。因此，任一點P經過逐次變換后的齊次坐標為

變換矩陣稱為復合變換矩陣。

例 2相對於任意點 C=［Cx Cy］的比例變換

與例1其復合變換陣三個變換復合而成。即為  由上述計算過程知，一個簡單比例變換需要有三個計算步驟。對第一次平移，可看成是將變換物移動到坐標系的原點，第二次平移則可看成將變換物移回原位。     例3 相對於直線 ax+by+c=0 進行對稱變換  此例可由五個基本變換復合而成，復合變換矩陣可按下式進行計算