三維坐標變換矩陣的推導過程

在3D計算機圖形學中，我們經常需要使用多個坐標系，因此我們需要知道如何從一個坐標系轉到另一個坐標系。在3D計算機圖形學中，點(Point)和向量(Vector)的變換是不同的，所以需要分別討論。

1、向量的變換

 

如圖所示，有兩個坐標系A、B和一個向量p。假設我們已經知道了p在坐標系A下的坐標為p_A = (x,y);現在我們要求p在坐標系B下的坐標，p_B = (x',y') 。也就是說，給定一個坐標系下的向量p，如何計算p在另一個坐標系下的坐標呢？

顯然，在坐標系A下，p = x*u + y*v;其中u、v為坐標系A下沿着x軸和y軸的單位向量；而在坐標系B下，p = x*u_B + y*v_B ，其中u_B和v_B為A坐標系下的x軸和y軸在B坐標系下的向量表示。因此，如果求出u_B = (u_x,u_y),v_B = (v_x,v_y),則可以求出p_B = (x',y')的值。

相應地，將二維情況推廣到三維，即可得到：

如果向量p_A = (x , y , z),則p_B = x*u_B + y*v_B + z*w_B;其中p_A為p在A坐標系下的向量表示，p_B為p在B坐標系下的向量表示，u_B 、v_B 、w_B分別為A坐標系下的坐標軸x、y、z在B坐標系下的向量表示。

2、點的變換

 

點是需要包含位置信息的，因此，點的變換和向量的變換稍微有些不同。

如圖所示，在坐標系A下，點p可表示為：p = x*u + y*v + Q ，其中u、v為坐標系A的坐標軸，Q為坐標系A原點的坐標。而在B坐標系下，點p可表示為:p = x*u_B + y*v_B + Q_B ,其中u_B和v_B為A坐標系下的x軸和y軸在B坐標系下的向量表示，Q_B為A坐標系下的原點在B坐標系下的坐標表示。因此，我們只要求出u_B = (u_x,u_y),v_B = (v_x,v_y),Q_B = (Q_x,Q_y),則可求出點p在B坐標下的坐標表示。

同理，將上述變換推廣到三維可得：

如果點p_A = (x , y , z),則點p_B = x*u_B + y*v_B + z*w_B +Q_B ;其中p_A為p在A坐標系下的坐標，p_B為p在B坐標系下的坐標，u_B 、v_B 、w_B分別為A坐標系下的坐標軸x、y、z在B坐標系下的向量表示，Q_B為A坐標系下的原點在B坐標系下的坐標表示。

 

3、點和向量的矩陣表示

結合1和2可得，

對於向量：

(x', y', z') = x*u_B + y*v_B + z*w_B;

對於點:

(x', y', z') = x*u_B + y*v_B + z*w_B + Q_B。

使用齊次坐標，我們將以上兩式統一表示為：

(x', y', z',w') = x*u_B + y*v_B + z*w_B + w*Q_B。

 其中，w=0，為向量的坐標變換；w=1，為點的坐標變換。

令Q_B = (Q_x ,Q_y ,Q_z ,1), u_B = (u_x , u_y , u_z ,0), v_B = (v_x ,v_y ,v_z ,0), w_B = (w_x , w_y , w_z ,0)，則可得坐標系A到坐標系的變換矩陣為