前提：一個圖在直角坐標系上的所有點，都是從原點(0, 0, 0)開始。
以二維為例，所有的矩陣變換，都可以表示成 x` = ax + by, y` = cx + dy. 這種表示方法的原理和背后的意義，見
縮放矩陣 的推導
如圖所示，所謂縮放，即一個圖上的所有點的x和y值，都乘以縮放系數S。縮放0.5，其實就是x值變成0.5x，y變成0.5y，寫成
對比 x` = ax + by, y` = cx + dy. 可知 a = s，b = 0， c = s，d = 0. 可推出縮放矩陣的變換為
旋轉矩陣 的推導
如圖所示，點P繞着原點(0, 0)旋轉θ
x` = c - d
y` = a + b
a = sinθ·x
b = cosθ·y
c = cosθ·x
d = -sinθ·y
x` = cosθ·x - sinθ·y
y` = sinθ·x + cosθ·y
對比 x` = ax + by, y` = cx + dy. 可得旋轉矩陣為
平移矩陣 的推導
如圖所示，所謂平移矩陣，即在x方向上移動了tx，在y方向上移動了ty
可是，由於平移矩陣並不能表示成 x` = ax + by, y` = cx + dy.的形式
於是我們在原來的維度上“強行”加多一維，用三維來表示二維
這樣，原來的表示方法依然成立：
x` = ax + by + ez
y` = cx + dy + fy
z` = gx + hy + iz
那么在二維空間中，z值 是多少？
我們認為，對於一個點而言，z值是1；對於向量而言，z值是0，表示一個點沒有產生相對位移。
好了，現在拿平移矩陣代入這個形式中，
x` = x + tx = ax + by + ez(z=1)，可知 a = 1, b = 0, e = tx
y` = y + ty = y` = cx + dy + fz(z=1)，可知 c = 0, d = 1, f = ty
z` = 1 = gx + hy + iz(z=1)，可知 g = 0，h = 0, i = 1
從而得到平移矩陣的變換為
切變矩陣 的推導
如圖所示，所謂切變矩陣，即一個圖形上的某些點在x方向上發生了偏移，偏移的大小跟y有關，y越大偏移越大，即
x` = x + ?y
y` = y
再仔細分析，發現偏移值跟y的百分比有關，y為0時沒有偏移也就是，在中間y=0.5c時偏移0.5b，在最高點y=1c時偏移1b，可知 x的偏移量等於y/b*c，即
x` = x + (b/c)y
這里有2個變量b和c，我們可以減少其中一個變量的影響，即把c歸一化(b和c同時除以c)，比如c是100，除以100等於1，那么b也除以100，把b/c看成a/1
注意：這里的a是紅線等於1時的值，如果紅線等於其他值n，要除以n才能得到a
在齊次坐標中，點的齊次值w = 1，向量的齊次值w = 2，並且點和向量的關系為：
向量 + 向量，向量 - 向量 = 向量 （表示合並向量）齊次值w：0 + 0 = 0
點 - 點 = 向量 （表示兩點間的距離和方向）齊次值w：1 - 1 = 0
點 + 向量 = 點 （表示一個點經過一個距離和方向后的新點）齊次值w：1 + 0 = 1
點 + 點 = 點 （表示取兩個點的中心點）齊次值w：1 + 1 = 2，x、y、z、w同時除以2， = 1