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寫在前面
2D圖像常見的坐標變換如下圖所示：
這篇文章不包含透視變換（projective/perspective transformation），而將重點放在仿射變換（affine transformation），將介紹仿射變換所包含的各種變換，以及變換矩陣該如何理解記憶。
仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪切、反射
仿射變換包括如下所有變換，以及這些變換任意次序次數的組合：
平移（translation）和旋轉（rotation）顧名思義，兩者的組合稱之為歐式變換（Euclidean transformation）或剛體變換（rigid transformation）；
放縮（scaling）可進一步分為uniform scaling和non-uniform scaling，前者每個坐標軸放縮系數相同（各向同性），后者不同；如果放縮系數為負，則會疊加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；
剛體變換+uniform scaling 稱之為，相似變換（similarity transformation），即平移+旋轉+各向同性的放縮；
剪切變換（shear mapping）將所有點沿某一指定方向成比例地平移，語言描述不如上面圖示直觀。
各種變換間的關系如下面的venn圖所示：
通過變換矩陣可以更清晰地看出這些變換間的關系和區別。
變換矩陣形式
沒有平移或者平移量為0的所有仿射變換可以用如下變換矩陣描述：
不同變換對應的\(a, b, c, d\)約束不同，排除了平移變換的所有仿射變換為線性變換（linear transformation），其涵蓋的變換如上面的venn圖所示，其特點是原點位置不變，多次線性變換的結果仍是線性變換。
為了涵蓋平移，引入齊次坐標，在原有2維坐標的基礎上，增廣1個維度，如下所示：
所以，仿射變換的變換矩陣統一用 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right]\) 來描述，不同基礎變換的\(a,b,c,d,e,f\)約束不同，如下所示：
此外，旋轉和平移相乘得到剛體變換的變換矩陣，如下，有3個自由度（\(\theta, t_x, t_y\)），這里旋轉方向為逆時針方向，因此與上圖中的正負號不同，
再乘上uniform scaling得到相似變換，有4個自由度（\(s, \theta, t_x, t_y\)），如下：
自然，仿射變換的變換矩陣有6個自由度（\(a,b,c,d,e,f\)）。
變換矩陣的理解與記憶
坐標系由坐標原點和基向量決定，坐標原點和基向量確定了，坐標系也就確定了。
對於坐標系中的位置\((x, y)\)，其相對坐標原點在\([1, 0]\)方向上的投影為\(x\)，在\([0, 1]\)方向上的投影為\(y\)——這里投影的意思是過\((x, y)\)做坐標軸的平行線與坐標軸的交點到原點的距離，即\((x, y)\)實際為：
當坐標系變化，坐標系中的點也跟着變化，但點相對新坐標系（\(x'-y'\)坐標系）的位置不變仍為\((x, y)\)，以旋轉變換為例，新坐標軸的基向量則變為\([\cos (\theta), \sin (\theta)]\)和\([-\sin (\theta), \cos (\theta)]\)，所以點變化到新位置為：
新位置和新基向量是相對絕對坐標系(\(x-y\)坐標系）而言的。其他變換矩陣同理。
總結一下：
- 所有變換矩陣只需關注一點：坐標系的變化，即基向量和原點的變化；
- 坐標系變化到哪里，坐標系中的所有點也跟着做同樣的變化；
- 坐標系的變換分為 基向量的變化 以及 坐標原點的變化，在仿射變換矩陣 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right]\)中， \(\left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right]\)和\(\left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right]\)為新的基向量，\(\left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right]\)為新的坐標原點，先變化基向量，再變化坐標原點；
這時再對照上面的各種變換矩陣，就很好理解了。
變換矩陣的參數估計
如果給定兩個對應點集，如何估計指定變換矩陣的參數？
一對對應點可以列兩個線性方程，多個對應點可以列出線性方程組，為了求解參數，需要的對應點數至少為自由度的一半，多個點時構成超定方程組，可以基於最小二乘或者SVD分解等方法進行求解，這里不再展開。