正定矩陣和半正定矩陣

本文轉載自查看原文 2020-08-13 00:32 871

在眾多的機器學習模型中，線性代數的身影無處不在，當然，我們也會時常碰到線性代數中的正定矩陣和半正定矩陣。例如，多元正態分布的協方差矩陣要求是半正定的。

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1. 基本的定義

正定和半正定這兩個詞的英文分別是positive definite和positive semi-definite，其中，definite是一個形容詞，表示“明確的、確定的”等意思。

初學線性代數的讀者可能會被這兩個詞“唬住”，但正定矩陣和半正定矩陣的定義實際上是很簡單的 (不考慮復數構成的矩陣)：

【定義1】給定一個大小為 $n\times n$ 的實對稱矩陣 $A$ ，若對於任意長度為 $n$ 的非零向量 $\boldsymbol{x}$ ，有 $\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}>0$ 恆成立，則矩陣 $A$ 是一個正定矩陣。

【例1】單位矩陣 $I\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ 是否是正定矩陣？

解：設向量 $\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{2}$ 為非零向量，則

$\boldsymbol{x}^TI\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=x_1^2+x_2^2$

由於 $\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ ，故 $\boldsymbol{x}^TI\boldsymbol{x}>0$ 恆成立，即單位矩陣 $I\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ 是正定矩陣。

單位矩陣是正定矩陣 (positive definite)。

【簡單證明】對於任意單位矩陣 $I\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 而言，給定任意非零向量 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ ，恆有

$\boldsymbol{x}^TI\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}$

$=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2>0$

【例2】實對稱矩陣 $A=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{3\times 3}$ 是否是正定矩陣？

解：設向量 $\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{3}$ 為非零向量，則

$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}= \left[\begin{array}{ccc}(2x_1-x_2) & (-x_1+2x_2-x_3) & -x_2+2x_3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array}\right]$

$=x_1^2+(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+x_3^2>0$

因此，矩陣 $A$ 是正定矩陣。

【定義2】給定一個大小為 $n\times n$ 的實對稱矩陣 $A$ ，若對於任意長度為 $n$ 的向量 $\boldsymbol{x}$ ，有 $\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}\geq0$ 恆成立，則矩陣 $A$ 是一個半正定矩陣。

根據正定矩陣和半正定矩陣的定義，我們也會發現：半正定矩陣包括了正定矩陣，與非負實數 (non-negative real number)和正實數 (positive real number)之間的關系很像。

圖1 正實數與負實數，圖片來源於https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

2. 從二次函數到正定/半正定矩陣

在初中數學中，我們學習了二次函數 $y=ax^2$ ，該函數的曲線會經過坐標原點，當參數 $a>0$ 時，曲線的“開口”向上，參數 $a<0$ 時，曲線的“開口”向下。

以 $y=2x^2$ 為例，曲線如下：

圖2 二次函數曲線

實際上，我們可以將 $y=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 視作 $y=ax^2$ 的多維表達式。

當我們希望 $y=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}\geq0$ 對於任意向量 $\boldsymbol{x}$ 都恆成立，就要求矩陣 $A$ 是一個半正定矩陣，對應於二次函數， $y=ax^2>0,\forall x$ 需要使得 $a\geq0$ .

另外，在 $y=ax^2$ 中，我們還知道：若 $a>0$ ，則對於任意 $x\neq 0$ ，有 $y>0$ 恆成立。

這在 $y=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 也有契合之處，當矩陣 $A$ 是正定矩陣時，對於任意 $\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ ， $y>0$ 恆成立。

3. 正定矩陣和半正定矩陣的直觀解釋

若給定任意一個正定矩陣 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 和一個非零向量 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ ，則兩者相乘得到的向量 $\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ 與向量 $\boldsymbol{x}$ 的夾角恆小於 $\frac{\pi}{2}$ . (等價於： $\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}>0$ .)

【例3】給定向量 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]\in\mathbb{R}^{2}$ ，對於單位矩陣 $I=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] \in\mathbb{R}^{2\times 2}$ ，則

$\boldsymbol{y}=I\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]$

向量 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{2}$ 之間的夾角為

$\cos\left<\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right>=\frac{\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}}{||\boldsymbol{x}||\cdot||\boldsymbol{y}||}$

$=\frac{2\times 2+1\times 1}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2}}$

$=1$

即兩個向量之間的夾角為0°.

【例4】給定向量 $\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{3}$ ，對於實對稱矩陣 $A=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right] \in\mathbb{R}^{3\times 3}$ ，則

$\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array} \right]$

向量 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{2}$ 之間的夾角為

$\cos\left<\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right>=\frac{\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}}{||\boldsymbol{x}||\cdot||\boldsymbol{y}||}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

即兩個向量之間的夾角小於 $\frac{\pi}{2}$ .

若給定任意一個正定矩陣 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 和一個向量 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ ，則兩者相乘得到的向量 $\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}$ 與向量 $\boldsymbol{x}$ 的夾角恆小於或等於 $\frac{\pi}{2}$ . (等價於： $\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}\geq0$ .)

4. 為什么協方差矩陣要是半正定的？

在概率論與數理統計中，我們都學習的協方差矩陣的定義：

對於任意多元隨機變量 $\boldsymbol{t}$ ，協方差矩陣為
$C=\mathbb{E}\left[(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\right]$

現給定任意一個向量 $\boldsymbol{x}$ ，則

$\boldsymbol{x}^TC\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\mathbb{E}\left[(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\right]\boldsymbol{x}$

$=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\boldsymbol{x}\right]$

$=\mathbb{E}(s^2)=\sigma_{s}^2$

其中，

$\sigma_s=\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})=(\boldsymbol{t}-\bar{\boldsymbol{t}})^T\boldsymbol{x}$

由於 $\sigma_s^2\geq0$ ，因此， $\boldsymbol{x}^TC\boldsymbol{x}\geq0$ ，協方差矩陣 $C$ 是半正定的。

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