矩陣正定、負定、半正定、半負定

矩陣正定

對於實對稱矩陣\(M_{n\times n}\)正定<=>非任意零實系數向量z，\(z^TMz\)>0

對於埃爾米特矩陣（復數共軛對稱矩陣）\(M_{n\times n}\)正定<=>對於任意非零復數向量z，\(z^*Mz>0\)

等價條件

1. 矩陣\(M\)的所有特征值都是正的；
2. 順序主子式大於零

矩陣負定、半定、不定

\(M\)為\(n\times n\)埃爾米特陣，\(z^*\)表示向量z的共軛轉置

負定

對於矩陣\(M_{n\times n}\),對於所有非零向量z， \(z^*Mz<0\);

半正定

對於所有非零向量z， \(z^*Mz\geq 0\);

半負定

對於所有非零向量z， \(z^*Mz\leq 0\);

不定

既不半正定也不半負定

conclusion

1. 正定負定是相對於對稱矩陣、埃爾米特陣來說的；