正定矩陣

正定矩陣式自共軛矩陣的一種。正定矩陣類似復數中的正實數。定義：對於對稱矩陣M，當且僅當存在任意向量x，都有

若上式大於等於零，則稱M為半正定矩陣。正定矩陣記為M>0。

也被稱為正定二次型

正定矩陣的判定

1、所有特征值為正數（根據譜定理，若條件成立，必然可以找到對角矩陣呢D和正定矩陣P，使M=P^-1DP）；
2、所有的順序主子式為正定；
3、Cholesky分解得到的矩陣，其主對角線上的元素全為正數；
4、矩陣有半雙線性映射形式。

首先解釋雙線性映射。假設三個向量空間X, Y和Z，有Z = B(X, Y)。對於X或Y中的任意向量都有到Z的唯一映射。如果把X固定，Y中的元素就存在到Z的線性映射，反過來也一樣。
所謂半雙線性映射，就是它的兩個參數一個是線性的，另一個是半線性的（或共軛線性）。如：

復數空間的內積都是半雙線性的。

正定矩陣的性質

1、正定矩陣均可逆，且逆矩陣也為正定矩陣；
2、正定矩陣與正實數的乘積也為正定；
3、跡Tr(M)>0；
4、存在唯一的平方根矩陣B，使得：