【矩陣范數與秩、正定】

一、1范數

   1.定義：

   ║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范數，A每一列元素絕對值之和的最大值)

二、2范數

   1.定義：

    ║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} 

三、無窮范數

   1.定義：

   ║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范數，A每一行元素絕對值之和的最大值)

四、F范數

  1.定義：

  ║A║F= ( ∑∑ a_ij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)

五、核范數

   1.定義：

   ||A||_*是指矩陣奇異值的和

   2.用處：

    約束矩陣低秩，秩表示行列的相關性，rank(A)的凸近似是核范數||A||_*,可用於矩陣補全、去噪。

六、2,1范數

   1.定義：

  

   2.作用：

   列稀疏

七、正定

  1.定義：

   設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有z^TMz> 0，其中z^T 表示z的轉置，就稱M正定矩陣。

  2.性質：

   特征值都大於0

八、范數、滿秩和正定關系

  1.正定->特征值都大於0>核范數>0

  2.正定->滿秩