雅克比矩陣

在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函數的導數。

定義

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 在向量分析中，雅可比矩陣是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。在代數幾何中，代數曲線的雅可比行列式表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。假設某函數從Rn映到Rm其雅可比矩陣是從Rn到R^m 的線性映射， 其雅可比矩陣是從的線性映射，其重要意義在於它表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於單變數函數的導數。 假設F:R_n 到 R_m 是一個從n維歐氏空間映射到到m維歐氏空間的函數。這個函數由m個實函數組成：

這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這個矩陣就是所謂的雅可比矩陣：

此矩陣用符號表示為：

y_i (i=1,2,....,m)這個矩陣的第 i行是由梯度函數的轉置表示的

如果p是Rⁿ中的一點，F在 p點可微分，根據高等微積分，I_F(p)是在這點的導數。在此情況下，I_F(p)這個線性映射即F在點p附近的最優線性逼近，也就是說當x足夠靠近點p時，我們有

例子

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的F函數:

其雅可比矩陣為:

此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。