四元數運動學筆記（4）旋轉的雅克比矩陣

1.相對於旋轉向量的雅克比
2.相對於四元數的雅克比
2.1相關公式
2.2推導雅克比

1.相對於旋轉向量的雅克比

• 這里在全局系下利用左擾動進行推導：
  $\frac{\mathrm{\partial }{a}^{{}^{\prime }}}{\mathrm{\partial }\theta }=\frac{\mathrm{\partial }Ra}{\mathrm{\partial }\theta }$

  

2.相對於四元數的雅克比

2.1相關公式

• 三叉積公式:

  

• 純實部的四元數和四元數相乘,這里 $q_w$是實數
  
  $$[q_w,0_3{]}^T\otimes q=q_w{q}_1\otimes q=q_{w}q$$
• 兩個純虛四元數相乘：

  

2.2推導雅克比

• 由以上三個公式可以得到以下公式的推導，其中這里的 $w,v,a$在涉及到四元數相乘的情況時，都是四元數的表示形式（純實部四元數和純虛部四元數），其他情況下則是正常的標量和三維向量。

  

• 旋轉過程相對於四元數的雅克比

  

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