四元數運動學筆記（2）旋轉向量，旋轉矩陣和四元數的關系

參考資料
1.向量旋轉公式
2.旋轉矩陣和旋轉向量
2.1旋轉矩陣微分和旋轉向量的推導
2.2羅德里格旋轉公式
3.四元數和旋轉向量
3.1 由歐拉參數推導四元數
3.2旋轉向量表示四元數
4.旋轉矩陣和四元數
5.歐拉角和旋轉向量角

參考資料

• Quaternion kinematics for the error-state KF
• barfoot《state estimation forrobotics》
• 袁信、鄭鍔《捷聯式慣性導航原理》
• 以上書籍的下載鏈接鏈接：http://pan.baidu.com/s/1c1G0k5U 密碼：jdsz

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剛體在空間中的一次旋轉可以用旋轉矩陣，四元數和旋轉向量三種方式表示，以下總結三者的數學轉化關系。

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1.向量旋轉公式

• 旋轉向量的定義：方向是旋轉軸，大小是旋轉角的向量，表示剛體在空間中的一次旋轉。
• 定義向量x繞單位旋轉軸u旋轉角度 $\varphi$，將向量繞u軸和垂直u軸分解，並利用向量的點乘的幾何意義得到：

  

• 平行於u軸的分量在旋轉中保持不變，垂直分量則旋轉 $\varphi$角度，公式(48)到（49）的推導利用了正交基的幾何關系和上式證明的模長相等。

  

2.旋轉矩陣和旋轉向量

2.1旋轉矩陣微分和旋轉向量的推導

• 相對於筆記1，利用哥氏定理推導旋轉矩陣的微分方程，這里給出了另外一種微分方程的推導，並從旋轉角時間積分的角度給出一種旋轉向量的定義。

  

2.2羅德里格旋轉公式

• 利用李群SO(3)推導出以旋轉向量表示的羅德里格旋轉公式(Rodrigues rotation formula)；其中計算時旋轉軸u用哪個坐標系表示都是等價的，后面將證明。

  

• 利用羅德里格旋轉公式推導向量旋轉公式

  

3.四元數和旋轉向量

3.1 由歐拉參數推導四元數

• 由旋轉矩陣的歐拉參數(Euler Parameters)推導單位四元數的表示,這里參考barfoot書上的內容，這部分也證明了羅德里格旋轉公式的旋轉軸u用哪個坐標系表示都可以。1中也有說明，旋轉軸在旋轉過程中沒有幾何位置變化。

  
  

• 由此得到以歐拉參數推導出的單位四元數

  

3.2旋轉向量表示四元數

• 根據3.1，由旋轉向量表示四元數可以寫成：

  

• 用四元數表示向量的旋轉，這里和四元數相乘運算的三維向量都改寫成四元數的形式（只有虛部，實部為0），並進行了證明(結果等於向量旋轉公式結果)：

  

4.旋轉矩陣和四元數

• 由2.2和3.3，以向量旋轉公式為紐帶，得到旋轉矩陣和四元數表示旋轉的等價關系,進而得到單位四元數的元素表示的旋轉矩陣,該結果和3.1由歐拉參數表示羅德里格公式的結論一致。3.1中的歐拉參數其實就是這里的單位四元數的實部和虛部。
• 其中 $\bar{x}$表示這里的x是以四元數的形式表示的。

  
  
  
  

5.歐拉角和旋轉向量角

• 我們提到歐拉角，一般指的是絕對姿態的歐拉角，即導航系下的機體俯仰滾轉和偏航角，而旋轉向量角指的是一次旋轉過程的角度，一般是微小量。
• 兩者的關系：機體在運動過程中歐拉角的更新可以看做是初始旋轉矩陣(歐拉角表示)與每次旋轉矩陣（旋轉向量角表示）的積分。

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